Рассматриваем каждое предложение, определяя часть речи выделенных слов и применяя правило их правописания.

Твой прадед погиб на фронте ЗА(ТО) (местоимение с предлогом, раздельно), ЧТО(БЫ) (союз, слитно) ты мог жить счастливо.

Цены растут всё ТАК(ЖЕ) быстро (наречие с частицей, раздельно), и правительству ТО(ЖЕ) (союз, слитно)  приходится считаться с реальностями рынка.

Дорогу размыло, (ПО)ЭТОМУ (союз, слитно) добирались мы до этих мест с большим трудом, (ЗА)ТО (союз, слитно) увидели леса и озёра необыкновенной красоты.

(В)ПРОДОЛЖЕНИЕ (предлог, раздельно) сессии он ТО(ЖЕ) (союз, слитно) болел.

Дедушку (В)ТЕЧЕНИЕ (предлог, раздельно) всей жизни звали (ПО)ПРОСТУ

Проверка. Обязательно разберите каждое слово из предложенных вариантов, чтобы не допустить ошибку.