Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную. Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 0 баллов. Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения. Форма для оценки находится внизу страницы.
Кратность 45 это 45 = 9*5 = 3*3*5, то есть кратно 9 и кратно 5. Раз число кратно 9.
Число кратно 5 если оканчивается на 0 и на 5.
Число кратно 9 когда сумма цифр его делится на 9.
1) Если числа кратны 45, значит они кратны 5. . В наборе у нас один 0 и одна цифра 5.
Значит пары чисел имеют вид
XX5 и XXX0
XX0 и XXX5
Где X - маска закрывающая число. Цифры од маской разные
То есть 0 идет к одному числу а 5 другому, чтобы оба могли делиться на 5 (а значит и на 15).
Цифры 0 и 5 не могут одновременно быть в одном числе.
2) Рассмотрим вариант XX0. То нам надо чтобы сумма цифр была кратна 9.
Быстрые вариант
2+7=9 кратно на 9, цифры 2 и 7 подходят.
3+9 = 12 не кратно 9, цифры 3 и 9 подходят
Цифры 2 и 7 дают 2 числа 270 и 720
3) найдем еще четырёхзначное число. XXX5
Остались цифры 1, 3, 5, 9.
1 + 3 + 5 + 9 = 18 делится на 9.
А чтобы делилось на 5 должно оканчиваться на 5.
1395, 1935, 3195, 3915, 9315, 9135.
Вопрос А.
Если первое число делится на 45 и второе число делится на 45, то их сумма должна делиться на 45. Проверим, может быть 2205 не делится на 45?
2205 - делится ли оно не 45, проверим. 2+2+0+5 = 9. Число делится на 9 и на 5, значит делится и на 15. Надо проверять.
1395 + 720 = 2115
1935 + 270 = 2205 Да. Да, сумма может быть равна 2205.
Вопрос Б.
3435 кратно ли оно 45. 3+4+3+5 = 15. Нет оно не кратно 9.
А мы говорили что если каждое число кратно 45, то их их сумма кратна 45.
3435 - нет.
Вопрос В.
Максимальная сумма получится тогда, когда первое четырехзначное число будет иметь в разряде тысяч 9.
9XX0
9XX5
А что если мы первым числом нашли 315 и 135? Ответим ли мы на Вопрос А быстро и ответим ли на него вообще?.
Если первые числа 315 и 135, тогда остаются цифры 9, 7, 2, 0. Причем последняя цифра 0, и самое маленькое число 2790.
2790 + 135 = 2925 больше 2205.
Значит нам надо составить такое четырех однозначное число, чтобы там в разряде тысяч была 1. Тогда шансы есть.
1XX0. оставшиеся цифры 2, 3, 9, 7. получается только 1290, 1920 числа не 9 делятся
XX5 оставшиеся цифры 3, 7 получается 375, 735 числа на 9 не делятся.
1XX5 . оставшиеся цифры 2, 3, 9, 7.
1+5=6. значит нам надо две цирфы с суммой
9−6=3,
18−6=12,
27−6=21.
Чтобы вместе с 6 число было кратным 9. Нуля нет, значит 3 отпадает. остаются 3 и 9.
1935 кратно 5, кратно 9
1395 кратно 5, кратно 9
Тогда трехзначные цифры 270 и 720.
1935 + 270 = 2205 Да.
Однако если сразу найти неудачное первое число перебор числе в пункте А затянется.