$\sqrt{f} = \sqrt{g} \\ \begin{cases} f=g \\ g\ge 0 \lor f \ge 0 \end{cases}$ 

галочка - это логическое "или" Мы поскольку у нас логическое "или", мы выбрали функцию что внешне  проще, x²−a²≥0. Еще отрезок что был в начальном условии мы внесли в систему

 $\displaystyle{ \begin{cases} x^2 − a^2 = 4x^2 − (4a + 2) x + 2a \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases} }$ 

 $\displaystyle{ x^2 − a^2 = 4x^2 − 4ax - 2x + 2a }$ 

 $\displaystyle{ (x − a)(x+a) = 4x(x − a) - 2(x - a) }$ 

 $\displaystyle{ (x − a)(x+a) = (x − a)(4x - 2) }$ 

 $\displaystyle{ (x − a)(x+a) - (x − a)(4x - 2) = 0 }$ 

 $\displaystyle{ (x − a) ((x+a) -(4x - 2)) = 0 }$ 

 $\displaystyle{ (x − a) (x+a - 4x + 2 ) = 0 }$  

 $\displaystyle{ (x − a) ( -3x + a + 2 ) = 0 }$ 

произведение равно нулю, когда либо первый множитель  равен нулю, либо второй множитель равен нулю, то есть у нас появляются  2 корня

 $\begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1-a = 0 \\ - 3x_2 +a + 2 =0 \end{gathered} \right. \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1 = a \\ x_2 = \frac{a +2}{3} \end{gathered} \right. \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$ 

мы имеем совокупность 2 систем, 

 $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x_1 = a \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases} \\ \begin{cases} \displaystyle{x_2 = \frac{a +2}{3} } \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases} \end{gathered} \right.$ 

решаем первую систему подставляем x=а в первое и второе уравнения

 $\begin{cases} x = a \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$  

 $\begin{cases} a^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le a \le 1 \end{cases}$ 

очевидно что   0≥0 при любых a, первый корень существует когда a лежит в интервале [0;1]

Перейдем ко второй системе, второму корню, подставим выражение x через a в два неравенства

 $\begin{cases} \displaystyle{ x = \frac{a +2}{3} } \\ x^2 − a^2 \ge 0 \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} \displaystyle{\left ( \frac{a +2}{3}\right )^2 }− a^2 \ge 0 \\ 0 \le \displaystyle{ \frac{a +2}{3} } \le 1 \end{cases}$ 

первое неравенство это разность квадратов

 $\begin{cases} \displaystyle{\left ( \left ( \frac{a +2}{3}\right ) − a\right ) \cdot \left ( \left ( \frac{a +2}{3}\right ) + a\right ) \ge 0 } \\ 0 \le {a +2} \le 3 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} \displaystyle{\left ( \left ( \frac{a +2-3a}{3}\right ) \right ) \cdot \left ( \left ( \frac{a +2+3a}{3}\right ) \right ) \ge 0 } \\ 0 \le {a +2} \le 3 \end{cases}$ 

домножим на 3 и еще раз на 3 первое неравенство
Из второго неравенства вычтем 2 из всех его частей, чтобы осталось только a

 $\begin{cases} (a +2-3a ) \cdot ( a +2+3a ) \ge 0 \\ 0-2 \le {a +2-2} \le 3-2 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} ( 2-2a ) \cdot ( 2+4a ) \ge 0 \\ -2 \le a \le 1 \end{cases}$ 
решаем при помощи числовой прямой

Второй корень существует когда а находится в  интервале [−0,5 ; 1]
Вспомним, что первый корень существует когда а находится в  интервале [0 ; 1]

 То есть
там где а не попадает в интервалы - нет корней удовлетворяющих условиям задачи (интервал для X в условии)
там где а попадает в 2 интервала - 2 корня удовлетворяющих условиям задачи (интервал для X в условии)
там где а попадет в 1 из этих интервалов - там 1  корень удовлетворяющий условиям задачи (интервал для X в условии)

a принадлежит отрезку ( −∞ ; −0,5) нет корней удовлетворяющих условиям задачи (интервал для X в условии)

a принадлежит отрезку [−0,5; 0) 1 корень удовлетворяющий условиям задачи (интервал для X в условии)

a принадлежит отрезку [0; 1] 2 корня удовлетворяющих условиям задачи (интервал для X в условии)

a принадлежит отрезку ( 1 ; +∞) нет корней удовлетворяющих условиям задачи (интервал для X в условии)

совпадение дух корней x1 и x2,  корни могут совпасть. Приравняем x₁ к x₁

 $x_1 = a \\ \displaystyle{x_2 = \frac{a +2}{3}}$ 

 $\displaystyle{a = \frac{a +2}{3}}$ 

3a = a + 2

2a=2

a=1

то есть точка a=1 у нас формально 2 удовлетворяют условию, вот только они совпадают.  Эта точка подходит.

 $a \in [- 0,5; 0) \cup \{1\}$