Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых
технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов
в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит
рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, —
300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих.
Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю
на этих двух заводах?
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 0 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
Формулировка "при использовании одинаковых
технологий" это означает что производительность труда на двух фабриках одинаковая. Что правило за t2 часов работы дает t единиц товара.одинаковое для двух фабрик. Кто-то скажет, а что здесь думать - отправить все деньги на фабрику где заработная плата меньше. Не всё так просто! Здесь зависимость производительности труда не линейная. Нет такого, что 1 час работаем 1 изделие - 9 часов работаем - 9 изделий. Тут чем больше работаем тем ниже производительность труда!
1 час работаем 1 изделие
4 часа работаем 2 изделия
9 часов работаем 3 изделия.
16 часов работаем 4 изделия
Первое изделие требует 1 час работы,
Второе изделие требует 4−1 = 3 часа работы
Третье изделие требует 9−4 = 5 часов работы
Четвертное требует 16-9 = 7 часов работы.
Каждое следующее изделие получается очень сильно дороже предыдущего. Поэтому фабрика с дорогой рабочей силой выгоднее, если она выпускает скажем второе изделие, а фабрика с дешевой рабочей силой уже десятое. Функция производительности труда P(t) = t/t2 = 1/t где t это время. С логикой разобрались, приступаем к математике!
Часов отработано
Изделий выпущено
Заработная плата
Расходы на заработную плату
Фабрика 1
x2
x
200
200x2
Фабрика 2
y2
y
300
300y2
Составим уравнений S - это количество товаров, это функция которую мы будем максимизировать. Мы возьмём производную, найдем экстремумы, и найдем точу максимума функции.
{200x2+300y2=1.200.000S=x+y
выразим x через y из первого уравнения
200x2=1.200.000−300y2
x2=2001.200.000−300y2
x2=6000−1,5y2
x=(6000−1,5y2)
заменим x в нашей функции
S=(6000−1,5y2)+y
Берем производную, помним про производную сложной функции
1=26.000−1,5y23y возведем в квадрат левую и правую части
1=4(6.000−1,5y2)9y2
24.000−6y2=9y2
24.000=15y2
y2=1.600
y=±40
По смыслу подходит +40. Кстати, если посчитать производную в точке -40 то выяснится, что она в этой точке даже не обращается в ноль вовсе. А почему? А потому, что вы возводили левую и правую часть в квадрат. Но опустим эти математические действия просто покажем что мы имеем дело с точкой максимума. Также помним о том, что знаменатель не равен нулю, а под корнем у нас положительное число. Красным отмечена область где у нас производная не существует или не определена.
Формулировка "при использовании одинаковых
технологий" это означает что производительность труда на двух фабриках одинаковая. Что правило за t2 часов работы дает t единиц товара.одинаковое для двух фабрик. Кто-то скажет, а что здесь думать - отправить все деньги на фабрику где заработная плата меньше. Не всё так просто! Здесь зависимость производительности труда не линейная. Нет такого, что 1 час работаем 1 изделие - 9 часов работаем - 9 изделий. Тут чем больше работаем тем ниже производительность труда!
1 час работаем 1 изделие
4 часа работаем 2 изделия
9 часов работаем 3 изделия.
16 часов работаем 4 изделия
Первое изделие требует 1 час работы,
Второе изделие требует 4−1 = 3 часа работы
Третье изделие требует 9−4 = 5 часов работы
Четвертное требует 16-9 = 7 часов работы.
Каждое следующее изделие получается очень сильно дороже предыдущего. Поэтому фабрика с дорогой рабочей силой выгоднее, если она выпускает скажем второе изделие, а фабрика с дешевой рабочей силой уже десятое. Функция производительности труда P(t) = t/t2 = 1/t где t это время. С логикой разобрались, приступаем к математике!
Часов отработано
Изделий выпущено
Заработная плата
Расходы на заработную плату
Фабрика 1
x2
x
200
200x2
Фабрика 2
y2
y
300
300y2
Составим уравнений S - это количество товаров, это функция которую мы будем максимизировать. Мы возьмём производную, найдем экстремумы, и найдем точу максимума функции.
{200x2+300y2=1.200.000S=x+y
выразим x через y из первого уравнения
200x2=1.200.000−300y2
x2=2001.200.000−300y2
x2=6000−1,5y2
x=(6000−1,5y2)
заменим x в нашей функции
S=(6000−1,5y2)+y
Берем производную, помним про производную сложной функции
1=26.000−1,5y23y возведем в квадрат левую и правую части
1=4(6.000−1,5y2)9y2
24.000−6y2=9y2
24.000=15y2
y2=1.600
y=±40
По смыслу подходит +40. Кстати, если посчитать производную в точке -40 то выяснится, что она в этой точке даже не обращается в ноль вовсе. А почему? А потому, что вы возводили левую и правую часть в квадрат. Но опустим эти математические действия просто покажем что мы имеем дело с точкой максимума. Также помним о том, что знаменатель не равен нулю, а под корнем у нас положительное число. Красным отмечена область где у нас производная не существует или не определена.
x=(6000−1,5y2)=(6000−1,5∗402)=60
S = x + y = 60 + 40 = 100
Способ 2. Без производной.
Сайт помог тебе решить задачу? Помоги нам - задонать!