Формулировка "при использовании одинаковых технологий" это означает что производительность труда на двух фабриках одинаковая.
Что правило за t² часов работы дает t единиц товара.одинаковое для двух фабрик.
Кто-то скажет, а что здесь думать - отправить все деньги на фабрику где заработная плата меньше. Не всё так просто! Здесь зависимость производительности труда не линейная. Нет такого, что  1 час работаем 1 изделие - 9 часов работаем - 9 изделий. Тут чем больше работаем тем ниже производительность труда!

1 час работаем 1 изделие
4 часа работаем 2 изделия
9 часов работаем 3 изделия.
16 часов работаем 4 изделия

Первое изделие требует 1 час работы,
Второе изделие требует 4−1 = 3 часа работы
Третье изделие требует 9−4 = 5 часов работы
Четвертное требует 16-9 = 7 часов работы.

Каждое следующее изделие получается очень сильно дороже предыдущего. Поэтому фабрика с дорогой рабочей силой выгоднее, если она выпускает скажем второе изделие, а фабрика с дешевой рабочей силой уже десятое.
Функция производительности труда P(t) = t/t² = 1/t где t это время.
С логикой разобрались, приступаем к математике!

Составим уравнений S - это количество товаров, это функция которую мы будем максимизировать. Мы возьмём производную, найдем экстремумы, и найдем точу максимума функции.

 $\begin{cases} 200x^2 + 300y^2 = 1.200.000 \\ S = x + y \end{cases}$ 

выразим x через  y из первого уравнения

 $\displaystyle { 200x^2 = 1.200.000 - 300y^2 }$ 

 $\displaystyle { x^2 = \frac{1.200.000- 300y^2}{200} }$ 

 $\displaystyle { x^2 = 6000 - 1,5y^2 }$ 

 $x = \sqrt{(6000-1,5y^2)}$ 

заменим x в нашей функции

 $S = \sqrt{(6000-1,5y^2)} + y$ 

 Берем производную, помним про производную сложной функции

 $(u(v))' = u(v)'v'$ 

 $\displaystyle { (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} }$

 $\displaystyle { S'(y) = (\sqrt{(6.000-1,5y^2)} + y)' =\frac{1}{2\sqrt{6.000 -1,5y^2 }}\cdot(6.000 -1,5y^2 )' + 1 }$ 

 $\displaystyle { S'(y) = \frac{ 1}{2\sqrt{6.000 -1,5y^2 }}\cdot(- 3y) + 1 }$ 

 $\displaystyle { S'(y) = 1 - \frac{ 3y}{2\sqrt{6.000 -1,5y^2 }} = 0 }$ 

 $\displaystyle { 1 = \frac{ 3y}{2\sqrt{6.000 -1,5y^2 }} }$ 
возведем в квадрат левую и правую части

 $\displaystyle { 1 = \frac{ 9y^2}{4(6.000 -1,5y^2 )} }$ 

 $\displaystyle { 24.000 - 6y^2 = 9y^2 }$ 

 $\displaystyle { 24.000 = 15y^2 }$ 

 $\displaystyle { y^2 = 1.600 }$ 

 $\displaystyle { y = \pm 40 }$ 

По смыслу подходит +40. 
Кстати, если посчитать производную в точке -40 то выяснится, что она в этой точке даже не обращается в ноль вовсе. А почему? А потому, что вы возводили левую и правую часть в квадрат.   1² = (-1)²  Но опустим эти математические действия просто покажем что мы имеем дело с точкой максимума. Также помним о том, что знаменатель не равен нулю, а под корнем у нас положительное число. Красным отмечена область где у нас производная не существует или не определена. 

 $x = \sqrt{(6000-1,5y^2)} = \sqrt{(6000-1,5*40^2)} = 60$

S = x + y = 60 + 40 = 100

Способ 2.  А как решить без производной.

 $\begin{cases} 200x^2 + 300y^2 = 1.200.000 \\ S = x + y \end{cases}$ 

 $2x^2 + 3(S^2-2Sx+x^2) = 12000$ 

 $2x^2 + 3S^2-6Sx+3x^2 = 12000$ 

 $5x^2 -6Sx + 3S^2 -12000 = 0$ 

Проверим что у у равнения есть корни. Найдем его дискриминант. 
Чтобы уравнение имело корни дискриминант должен быть больше либо равен нулю. 

 $D = b^2-4ac$ 

 $D = (−6S)^2 − 4*5*(3S^2-12000)=36S^2-60S^2+240'000$ 

 $D = -24S^2 + 240'000 \ge 0$ 

 $S^2 \le 10'000$ 

Какой самое больше значение может быть у S? Максимальное значение у S=100

Подставляем 100 в квадратное уравнение

 $5x^2 -6*100*x + 3*(100)^2 -12'000 = 0$ 

 $5x^2 -600x + 30'000 -12'000 = 0$ 

 $5x^2 -600x + 18'000= 0$ 

 $x^2 -120x + 3'600= 0$ 

 на глазок видно, что это полный квадрат

(x-60)² = 0 

x = 60

y = 40

S = 100

А зачем мы вообще после нахождения S мах = 100 искали x и  y? Хороший вопрос, на всякий случай, чтобы показать что у нас получились две положительные величины.

Ответ: максимальное количество единиц товара 100