Какие формулы на потребуются?

 $\displaystyle { \log_{a}1 = 0 }$ 

 $\displaystyle { \log_{a}b+ \log_{a}c = \log_{a} (b*c) }$ 

 $\displaystyle { \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a} \left(\frac{b}{c}\right) }$ 

 $\displaystyle { \log_{11}(2x^2+1) + \log_{11}\left(\frac{1}{32x} +1\right) \ge \log_{11}\left(\frac{x}{16} +1\right) }$ 

Разберемся с условием существования логарифма, то есть зафиксируем ОДЗ область допустимых значений. Под знаком логарифма должно быть положительное число:

 $\begin{cases} 2x^2+1 >0 \\ \frac{1}{32x} +1 >0 \\ \frac{x}{16} +1 > 0 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} x^2 > -0,5 \\ \frac{1 + 32x}{32x} >0 \\ \frac{x + 16}{16} > 0 \end{cases}$ 

Квадрат любого числа  всегда больше либо равен нулю 

$\begin{cases} \frac{1 + 32x}{32x} >0 \\ \frac{x }{16} + 1> 0 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} \frac{1 + 32x}{32x} >0 \\ x > -16 \end{cases}$ 

 ОДЗ - пересечение интервалов что на картинке 

 $\displaystyle { \log_{11}(2x^2+1) + \log_{11}\left(\frac{1}{32x} +1\right) \ge \log_{11}\left(\frac{x}{16} +1\right) }$ 

 $\displaystyle { \log_{11} { \left( (2x^2+1) \left(\frac{1}{32x} +1 \right) \right)} \ge \log_{11}\left(\frac{x}{16} +1\right) }$ 

Функция f(x) = log_ax    определена при x>0
При а > 1 она строго возрастающая
При 0 < a < 1 она строго убывающая

раз функция строго возрастающая, то большему значению x соответствует большее значение f(x), значит мы можем отбросить функцию, и сравнивать только часть что под функцией

 $\displaystyle { (2x^2+1) \left(\frac{1}{32x} +1 \right) \ge \left(\frac{x}{16} +1\right) }$ 

$\displaystyle { \frac{x}{16} +2x^2 + \frac{1}{32x} +1 \ge \frac{x}{16} +1 }$ 

 $\displaystyle { 2x^2 + \frac{1}{32x} \ge 0 }$  

 $\displaystyle { \frac{64x^3 + 1}{32x} \ge 0 }$ 

 $\displaystyle { \frac{64x^3 + 1^3}{32x} \ge 0 }$ 

 $\displaystyle { \frac{ (4x+1)(16x^2-4x+1)}{32x} \ge 0 }$ 

Найдем x в которых дробь обращается в ноль или не существует. Дробь обращается в ноль, если числитель равен нулю или знаменатель равен нулю. Знаменатель обращается в ноль при x=0, в этой точке дробь не существует. Найдем когда когда числитель обращается в ноль:

64x³+1 = 0

64x³  = −1

 x³  = −(1/64)

x= −(1/4)

 Найдем на каких интервалах функция больше или равна нулю. Помним что x не может принимать значение 0.

А теперь будем искать решение, нам ведь надо учесть ОДЗ

 $\displaystyle { (-16; -\frac{1}{4}] \cup (0; + \infty) }$ 

Ответ ( −16; −1/4] U (0; +∞)

Что главное? Главное не напутать границы интервалов, включается граничная точка в интервал или нет?  Помним, что  1/32 меньше чем  1/4, а вот −1/32 больше чем −1/4, то есть −1/32 ближе к нулю чем −1/4.