Начертим чертеж

1) Из условия нам дана призма. Значит боковые стороны - это прямоугольники. Призма правильная, четерёхугольная, значит осноани призмы рамные между собой правильные четырехугольники, то есть квадраты.

Рассмотрим треугольник МAD и MA₁B₁ Они равны между собой. Почему? Это прямоугольные треугольники, поскольку у призмы боковые стороны
это прямоугольники, поэтому углы MAD и  MA₁B₁ прямые. В этих треугольниках MD и  MB₁ это гипотенузы. Одновременно это стороны ромба MB₁KD. А стороны ромба по условию, а стороны ромба равны между собой . То есть у нас в двух прямоугольных треугольниках гипотенузы равны между собой. AD=A₁B₁ поскольку в основаниях равные между собой квадраты. Этих условий достаточно для равенства прямоугольных треугольников.   Раз треугольники равны, то и  катеры AM=МA₁ Значит М середина ребра AA₁

2) Площадь ромба ЫMB₁KD = 6

S ромба = 1/2*d₁*d₂
S ромба = 1/2*(B_cD*MK)

План решения. Площадь ромба нам известна. Чтобы найти диагональ B₁D надо найти диагональ MK. МК эравна AC (это надо доказать),  а диагональ AC легко вычисляется из площади квадрата ABCD которая известна . Таким образом у нас есть треугольник ВB₁D, где мы знаем BD = AC и B₁D, гипотенуза легко ищется.
△B₁C₁K = △DCK как прямоугольные треугольники у которых равные гипотенузы (B₁K =DK как стороны ромба), и равные катеты
 B₁C₁ = DC. Значит и C₁K = CK, а значит К тоже середина CC₁
Рассмотрим четырехугольник AMKC. МА параллельно КС, МА = КС,   углы   ∠МАС = ∠КСА = 90° этого достаточно чтобы это был прямоугольник.  Значит МК = АС.

Рассмотрим основание ABCD, это квадрат. его площадь равна 3, значит сторона равна $\sqrt{3}$  А диагональ AC это гипотенуза в прямоугольном треугольнике ADC

 $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 }=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$ 

Значит и МК = 6.
По условию S(MB₁КD) = 1/2(МК*B₁D) = 6

 $\displaystyle { B_{1}D = \frac {6*2}{MR} = \frac {12}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6} }$ 

Высота призмы равна ее ребру. Снова обратимся к основанию ABCD, это квадрат, у него равны диагонали AC = BD = $\sqrt{6}$

Рассмотрим треугольник  △B₁BD,  это прямоугольный треугольник, ребра призмы перпендикулярны основаниям, и являются высотами. B₁B перпендикулярно ABCD, значит перпендикулярно и BD, угол ∠B₁BD = 90°.  B₁D гипотенуза, BD катет. Найдем катет B₁B.

 $B_1B = \sqrt{B_1D^2 - BD^2 }=\sqrt{(2\sqrt6)^2 - (\sqrt6)^2 }$ 

 $B_1B = \sqrt{4*6 - 6 }= \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ 

Можно было решать на основе правила, что площадь проекции на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между ними. Собственно, начальный многоугольник – ромб, а его проекция – квадрат в основании.
Однако надо доказать, что угол ∠B₁DB действительно угол между фигурой и ее проекцией.