а) решите уравнение
3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0 3 \cdot 9^{x+1} - 5\cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x}= 0 3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0
б) найдите корни уравнения принадлежащие отрезку
[ − π 2 ; π ] \displaystyle{\left[ - \frac{\pi}{2} ; \pi \right]} [ − 2 π ; π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0 3 \cdot 9^{x+1} - 5\cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x}= 0 3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0
3 ⋅ 9 ⋅ 9 x − 5 ⋅ 6 ⋅ 6 x + 8 ⋅ 4 x = 0 3 \cdot 9 \cdot 9^{x} - 5\cdot 6\cdot 6^{x } + 8 \cdot 4^{x}= 0 3 ⋅ 9 ⋅ 9 x − 5 ⋅ 6 ⋅ 6 x + 8 ⋅ 4 x = 0
разделим левую и правую часть на 4x отметим, что функция y=4x больше нуля при любых x, поэтому деление не накладывает на нас никаких обязательств.
27 ⋅ 9 x 4 x − 30 ⋅ 6 x 4 x + 8 ⋅ 4 x 4 x = 0 \displaystyle { 27 \cdot \frac{9^x }{4^x} - 30 \cdot \frac {6^x }{4^x} + 8 \cdot \frac {4^x}{4^x} = 0 } 2 7 ⋅ 4 x 9 x − 3 0 ⋅ 4 x 6 x + 8 ⋅ 4 x 4 x = 0
27 ⋅ ( 9 4 ) x − 30 ⋅ ( 6 4 ) x + 8 = 0 \displaystyle { 27 \cdot \left (\frac{9 }{4}\right)^x - 30 \cdot \left ( \frac {6 }{4} \right)^x + 8 = 0 } 2 7 ⋅ ( 4 9 ) x − 3 0 ⋅ ( 4 6 ) x + 8 = 0
27 ⋅ ( 3 2 ) 2 x − 30 ⋅ ( 3 2 ) x + 8 = 0 \displaystyle { 27 \cdot \left (\frac{3 }{2}\right)^{2x} - 30 \cdot \left ( \frac {3}{2} \right)^x + 8 = 0 } 2 7 ⋅ ( 2 3 ) 2 x − 3 0 ⋅ ( 2 3 ) x + 8 = 0
( 3 2 ) x = t \displaystyle { \left ( \frac {3}{2} \right)^x = t } ( 2 3 ) x = t
27 t 2 − 30 t + 8 = 0 27 t^2 - 30 t + 8 = 0 2 7 t 2 − 3 0 t + 8 = 0
D = b 2 − 4 a c = 3 0 2 − 4 ⋅ 27 ⋅ 8 = 36 \displaystyle { D=b^2-4ac=30^2-4 \cdot 27 \cdot 8=36 } D = b 2 − 4 a c = 3 0 2 − 4 ⋅ 2 7 ⋅ 8 = 3 6
t 1 , 2 = − b ± D 2 a \displaystyle{ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a} } t 1 , 2 = 2 a − b ± D
t 1 = 30 + 36 2 ⋅ 27 = 36 54 = 2 3 \displaystyle{ t_{1 } = \frac{30 + \sqrt{36} }{2 \cdot 27} = \frac{36 }{54} =\frac{2 }{3}} t 1 = 2 ⋅ 2 7 3 0 + 3 6 = 5 4 3 6 = 3 2
t 2 = 30 − 36 2 ⋅ 27 = 24 54 = 4 9 \displaystyle{ t_{2 } = \frac{30 - \sqrt{36} }{2 \cdot 27} = \frac{24 }{54} =\frac{4 }{9}} t 2 = 2 ⋅ 2 7 3 0 − 3 6 = 5 4 2 4 = 9 4
произведем обратную замену
[ ( 3 2 ) x = 2 3 ( 3 2 ) x = 4 9 \left[
\begin{gathered}
\left(\frac{3 }{2} \right)^x=\frac{2 }{3} \\
\left(\frac{3 }{2} \right)^x=\frac{4 }{9}
\end{gathered}
\right. ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( 2 3 ) x = 3 2 ( 2 3 ) x = 9 4
[ x 1 = − 1 x 2 = − 2 \left[
\begin{gathered}
x_1=-1 \\
x_2 =-2
\end{gathered}
\right. [ x 1 = − 1 x 2 = − 2
б) а как же найти какая точка попадает на отрезок? Вспоминаем мнемоническое правило "это я знаю и помню прекрасно..." число букв в каждом слове означает цифру в числе пи, π=3,14159
[ − π 2 ; π ] ≈ [ − 1 , 57 ; 3 , 1415 ] \displaystyle{\left[ - \frac{\pi}{2} ; \pi \right] \approx \left[ - 1,57 ; 3,1415 \right] } [ − 2 π ; π ] ≈ [ − 1 , 5 7 ; 3 , 1 4 1 5 ]
таким образом точка -2 лежит за пределами интервала, а в интервал попадает только точка -1.
Ответ: -1
Оцените своё решение
3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0 3 \cdot 9^{x+1} - 5\cdot 6^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x}= 0 3 ⋅ 9 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 1 + 8 ⋅ 2 2 x = 0
3 ⋅ 9 ⋅ 9 x − 5 ⋅ 6 ⋅ 6 x + 8 ⋅ 4 x = 0 3 \cdot 9 \cdot 9^{x} - 5\cdot 6\cdot 6^{x } + 8 \cdot 4^{x}= 0 3 ⋅ 9 ⋅ 9 x − 5 ⋅ 6 ⋅ 6 x + 8 ⋅ 4 x = 0
разделим левую и правую часть на 4x отметим, что функция y=4x больше нуля при любых x, поэтому деление не накладывает на нас никаких обязательств.
27 ⋅ 9 x 4 x − 30 ⋅ 6 x 4 x + 8 ⋅ 4 x 4 x = 0 \displaystyle { 27 \cdot \frac{9^x }{4^x} - 30 \cdot \frac {6^x }{4^x} + 8 \cdot \frac {4^x}{4^x} = 0 } 2 7 ⋅ 4 x 9 x − 3 0 ⋅ 4 x 6 x + 8 ⋅ 4 x 4 x = 0
27 ⋅ ( 9 4 ) x − 30 ⋅ ( 6 4 ) x + 8 = 0 \displaystyle { 27 \cdot \left (\frac{9 }{4}\right)^x - 30 \cdot \left ( \frac {6 }{4} \right)^x + 8 = 0 } 2 7 ⋅ ( 4 9 ) x − 3 0 ⋅ ( 4 6 ) x + 8 = 0
27 ⋅ ( 3 2 ) 2 x − 30 ⋅ ( 3 2 ) x + 8 = 0 \displaystyle { 27 \cdot \left (\frac{3 }{2}\right)^{2x} - 30 \cdot \left ( \frac {3}{2} \right)^x + 8 = 0 } 2 7 ⋅ ( 2 3 ) 2 x − 3 0 ⋅ ( 2 3 ) x + 8 = 0
( 3 2 ) x = t \displaystyle { \left ( \frac {3}{2} \right)^x = t } ( 2 3 ) x = t
27 t 2 − 30 t + 8 = 0 27 t^2 - 30 t + 8 = 0 2 7 t 2 − 3 0 t + 8 = 0
D = b 2 − 4 a c = 3 0 2 − 4 ⋅ 27 ⋅ 8 = 36 \displaystyle { D=b^2-4ac=30^2-4 \cdot 27 \cdot 8=36 } D = b 2 − 4 a c = 3 0 2 − 4 ⋅ 2 7 ⋅ 8 = 3 6
t 1 , 2 = − b ± D 2 a \displaystyle{ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a} } t 1 , 2 = 2 a − b ± D
t 1 = 30 + 36 2 ⋅ 27 = 36 54 = 2 3 \displaystyle{ t_{1 } = \frac{30 + \sqrt{36} }{2 \cdot 27} = \frac{36 }{54} =\frac{2 }{3}} t 1 = 2 ⋅ 2 7 3 0 + 3 6 = 5 4 3 6 = 3 2
t 2 = 30 − 36 2 ⋅ 27 = 24 54 = 4 9 \displaystyle{ t_{2 } = \frac{30 - \sqrt{36} }{2 \cdot 27} = \frac{24 }{54} =\frac{4 }{9}} t 2 = 2 ⋅ 2 7 3 0 − 3 6 = 5 4 2 4 = 9 4
произведем обратную замену
[ ( 3 2 ) x = 2 3 ( 3 2 ) x = 4 9 \left[
\begin{gathered}
\left(\frac{3 }{2} \right)^x=\frac{2 }{3} \\
\left(\frac{3 }{2} \right)^x=\frac{4 }{9}
\end{gathered}
\right. ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( 2 3 ) x = 3 2 ( 2 3 ) x = 9 4
[ x 1 = − 1 x 2 = − 2 \left[
\begin{gathered}
x_1=-1 \\
x_2 =-2
\end{gathered}
\right. [ x 1 = − 1 x 2 = − 2
б) а как же найти какая точка попадает на отрезок? Вспоминаем мнемоническое правило "это я знаю и помню прекрасно..." число букв в каждом слове означает цифру в числе пи, π=3,14159
[ − π 2 ; π ] ≈ [ − 1 , 57 ; 3 , 1415 ] \displaystyle{\left[ - \frac{\pi}{2} ; \pi \right] \approx \left[ - 1,57 ; 3,1415 \right] } [ − 2 π ; π ] ≈ [ − 1 , 5 7 ; 3 , 1 4 1 5 ]
таким образом точка -2 лежит за пределами интервала, а в интервал попадает только точка -1.
Ответ: -1