Самый простой способ поиска наименьшего значения функции - это найти минимум функции при помощи производной. Точки экстремума функции - это  точки в которых производная обращается в ноль или не существует.

 $\displaystyle { y^\prime= \frac{8}{\cos^2 x} - 8 }$ 

 $\displaystyle { \frac{8}{\cos^2 x} - 8 = 0}$ 

 $\displaystyle { 8 \Big(\frac{1}{ \cos^2 x} -1\Big) =0 }$ 

 $\displaystyle { 8 \Big(\frac{1- \cos^2x }{ \cos^2 } \Big) =0 }$ 

 $\displaystyle { 8 \Big(\frac{ \sin^2x }{ \cos^2 } \Big) = 8\tan^2x=0 }$ 

  $y^\prime \ge 0; \ \forall x \in R$  
то есть функция у нас не убывает. Можно предположить, что могут быть интервалы когда функция возрастает  (y'>0) или когда график функции идет параллельно оси x (y'=0).  Тогда резонно предположить, что наименьшее значение функции будет соответствовать наименьшие значения аргумента.  А наименьшее значение аргумента - это у нас левая граница интервала

 $\displaystyle { -\frac{\pi}{4} }$ 

Помним, что в бланк задания нельзя вписать

 $\displaystyle {- \frac{\pi}{4} }$ 

Составители задания помнят про это, и говорят, что нужно найти именно значение функции, а не  говорят "найдите аргумент при котором функция принимает наименьшее значение". И мы должны помнить про это. Ищем значение функции.

 $\displaystyle { y(-\frac{\pi}{4} ) = 8\tg{(-\frac{\pi}{4})} - 8 (-\frac{\pi}{4}) - 2π+13 }$ 

 $\displaystyle { y(-\frac{\pi}{4} ) = 8 (-1) + 2\pi - 2\pi +13 = 13-8=5 }$ 

у=5

Ответ: 5