ЕГЭ-2019 | Математика профильная | Решение 3190 | Конечная возрастающая последовательность a1,a2,...,ana_1, a_2,..., a_na1,a2,...,an состоит из n≥3n\geq 3n≥3 различных натуральных чисел, причем при всех натуральных k≤n−2k\leq n-2k≤n−2 выполнено...

Дисциплина: Математика профильная
Номер вопроса в билете: 19
Баллы: 4
Сложность: Высокий

Конечная возрастающая последовательность $a_1, a_2,..., a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $5a_{k+2}=6a_{k+1}-a_k$
a) Приведите пример такой последовательности при n=5
б) Может ли в такой последовательности при некотором   $n\geq 3$ выполняться равенство $4a_n=5a_2-a_1$
в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$ , если $a_n=286$

Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную. Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 4 баллов. Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения. Форма для оценки находится внизу страницы.

Подробное решение

б) При всех натуральных k ≤ n-1 положим b_k=a_k+1 − a_k
тогда равенство 5a_k+2= 6a_k+1− a_k равносильно
5a_k+2= a_k+1+ 5a_k+1 - a_k
5a_k+2 - 5a_k+1= a_k+1 - a_k
5b_k+1= b_k
b_k+1=(1/5) b_k
Следовательно, последовательность b_k при 1≤ k ≤ n-1 образует геометрическую прогрессию со знаменателем q=(1/5)
Имеем
$\displaystyle{ a_n=a+b_1+b_2+...+b_{n-1}= a_1 + \frac{b_1(1-q^{n-1})}{1-q} < a_1 + \frac{b_1}{1-q} }$
$\displaystyle { a_n < a_1 + \frac {b_1}{1-\frac{1}{5}} = a_1+ \frac{5}{4}b_1= a_1 + \frac{5}{4}(a_2 - a_1) }$
$\displaystyle { a_n < \frac{5}{4}a_2 -\frac{1}{4}a_1 }$
$4a_n < 5a_2 - a_1$
нет, неравенство $4a_n=5a_2-a_1$    выполняться не может ни при каком n.

а) тут проблема а нахождении a₁
a₁, 100, (100+25), (100+25+5), (100+25+5+1)
a₁, 100, 125, 130, 131

5*125 = 6*100 - a₁
625= 600 - a₁
a₁= 25
Последовательность таким образом 25, 100, 125, 130, 131
в) a_n=286

Оцените своё решение

0 1 2 3 4
Подробное решение
б) При всех натуральных k ≤ n-1 положим b_k=a_k+1 − a_k
тогда равенство 5a_k+2= 6a_k+1− a_k равносильно
5a_k+2= a_k+1+ 5a_k+1 - a_k
5a_k+2 - 5a_k+1= a_k+1 - a_k
5b_k+1= b_k
b_k+1=(1/5) b_k
Следовательно, последовательность b_k при 1≤ k ≤ n-1 образует геометрическую прогрессию со знаменателем q=(1/5)
Имеем
$\displaystyle{ a_n=a+b_1+b_2+...+b_{n-1}= a_1 + \frac{b_1(1-q^{n-1})}{1-q} < a_1 + \frac{b_1}{1-q} }$
$\displaystyle { a_n < a_1 + \frac {b_1}{1-\frac{1}{5}} = a_1+ \frac{5}{4}b_1= a_1 + \frac{5}{4}(a_2 - a_1) }$
$\displaystyle { a_n < \frac{5}{4}a_2 -\frac{1}{4}a_1 }$
$4a_n < 5a_2 - a_1$
нет, неравенство $4a_n=5a_2-a_1$    выполняться не может ни при каком n.

а) тут проблема а нахождении a₁
a₁, 100, (100+25), (100+25+5), (100+25+5+1)
a₁, 100, 125, 130, 131

5*125 = 6*100 - a₁
625= 600 - a₁
a₁= 25
Последовательность таким образом 25, 100, 125, 130, 131
в) a_n=286

Сайт помог тебе решить задачу?
Помоги нам - задонать!

Войти в свой аккаунт
Химия
Биология
Русский язык
Математика базовая
Математика профильная