а) приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a₅ = 5.

n=5
k ≤ n–2 ⇒ k ≤ 5–2 ⇒ k ≤ 3
k=1
a₃ = 2a₂–a₁+1.
k=2
a₄ = 2a₃–a₂+1 = 2•(2a₂–a₁+1)–a₂+1 = 4a₂–2a₁+2–a₂+1 = 3a₂–2a₁+3
k=3
a₅ = 2a₄–a₃+1 = 2•(3a₂–2a₁+3)– (2a₂–a₁+1)+1 = 6a₂–4a₁+6–2a₂+a₁–1+1= 4a₂–3a₁+6

a₅=5, значит
4a₂–3a₁+6=5
или
4a₂–3a₁=–1
Равенство возможно при a₁=3; a₂=2 (это не единственные подходящие варианты, ещё подходят a₁=7 и a₂=5,  a₁=15 и a₂=11)
4a₂–3a₁=4•2–3•3=–1
Тогда
a₁=3
a₂=2
a₃ = 2a₂–a₁+1 = 2*2–3+1 = 2
а₄ = 2a₃–a₂+1 = 2*2–2+1 = 3
а₅ =  2a₄–a₃+1 = 2*3–2+1 =5
а₆ = 2a₅–a₄+1 = 2*5–3+1 = 8

Ответ: да. 3, 2, 2, 3, 5,  (8  писать в ответ нельзя, нужно только 5 первых членов) 
б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?
Вообще еще по пункту а стало заметно, что у нас возрастающая последовательность. Проанализируем это

a_k+2 = 2a_k+1–a_k+1 отсюда следует, что

a_k+2 –a_k+1= a_k+1–a_k+1.
то есть разность между соседними членами последовательности увеличивается на 1. То ест разность между членами последовательности образует арифметическую прогрессию. 
Поэтому последовательность с какого-то момента возрастает, а до этого момента возможно убывает.  (убывающей части может и не быть, если разность сразу выбрать положительной). Очевидно, каждое число может не более одного раза встретиться на участке возрастания и на участке убывания. 2 повторения быть может, а вот 3 уже нет. (в нашем примере у нас по 2 раза повторяются числа 3 и 2)

Ответ: нет.

рассмотрим исключительно участок возрастания

a₁,
a₂=a₁+1,  мы специально выбрали маленький шаг, так больше членов последовательности.  Еще раз обращаем внимание на то, что разница между членами последовательности образует арифметическую прогрессию. Шаг - это разность прогрессии.
a₃=a₂+2 = a₁ + 1+2,
a₄=a₃+3 = a₁+ 1+2+3

a_n=a_n-1+(n-1) = a₁+ 1+2+3+...(n-1) = a₁ + (n*(1+ (n-1)))/2

 $\displaystyle{a_n= a_1 + \frac{(n-1)(1+(n-1))}{2}}$ 

 $\displaystyle{a_n= a_1 + \frac{n^2-n}{2}}$ 

Для того чтобы a_n ,был двухзначным нужно чтобы  a_n≤ 99, одновременно a₁ ≥ 10.

Можно рассмотреть 2 варианта.
Вариант 1.
возьмем минимальное a₁ = 10. тогда  максимальное a_n≤ 99
или альтернатива Вариант 2.
возьмем максимальное a_n= 99 тогда  минимальное a₁ ≥ 10

Вариант 1. если  a₁ =10, а  a_n≤ 99, то 

a_n ≤ 99

10 + (n²-n)/2  ≤ 99

20+ n²-n ≤ 198

n²-n - 178 ≤ 0

n²-n - 178 = 0
n₁≈ -12.851 

n₂≈13.851

 (n+12.851)(n-13.851) ≤ 0

неравенство выполняется  на интервале [ -12.851 ;  13.851 ], нас интересует самое большое целое число  13.
В последовательности 2 интервала возрастания и убывания.  Следовательно, 13+13=26 у нас 26 членов последовательности.