Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции).
Если точка x₀ - точка экстремума функции f(x), то в этой точке производная функции равна нулю (f '(x) = 0) или не существует.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x₀ является точкой экстремума функции f(x),  1) если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, 2) а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Найдем производную функции.

Также следует помнить о производной сложной функции

 $f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x)$ 

 $\displaystyle { (\sqrt[n]x)^\prime= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} }$ 

 $\displaystyle { (\sqrt x)^\prime= \frac{1}{2\sqrt {x} } }$ 

 $(x^n)^\prime = nx^{n-1}$ 

 $y ^\prime = (\sqrt{x^2+10x+55}) ^\prime$ 

 $\displaystyle { y ^\prime = \frac{1}{2 \sqrt{x^2+10x+55} } \cdot (2x+10) }$ 

 $\displaystyle { y ^\prime = \frac{2\cdot (x+5) }{2 \sqrt{x^2+10x+55} } = \frac{ (x+5) }{ \sqrt{x^2+10x+55} } }$ 

Найдем точки в которых производная равна нулю или не существует.
У нас числитель обращается в ноль при x=-5. При этом производная обращается в ноль.
Производная также не существует в точке, когда знаменатель обращается в ноль.  Также заметим, что исходная функция у нас не определена когда  знаком корня отрицательное число. Исследуем функцию под корнем.

 ${x^2+10x+55} =0$ 

 $D=10^2 -4*1*55= 100-220=-120$ 

Квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0 не имеет корней,  значит функция в знаменателе под знаком корня не обращается в ноль.  Более того,  a=1 (перед x²  стоит плюс 1), то есть ветви функции направлены вверх, значит функция под знаком корня принимает только положительные значения. 

Поэтому у нас один ответ -5. Проверим какая эта точка, максимума или минимума. Как производная меняет свой знак?
Возьмем x=-6, подставим в производную, 

 $f^\prime (-6) <0$  производная отрицательная, почему?

знаменатель положительный всегда (+). числитель ((-6)+5)=-1 (-). минус умножить/разделить на плюс - дает минус. Или отрицательное число на положительное - будет  отрицательное число. Производная отрицательная функция убывает.
Возьмем x=0

 $f ^\prime(0) > 0$  производная положительная, почему?
знаменатель положительный всегда (+). числитель (0+5)=5 (+). плюс умножить/разделить на плюс - дает плюс. Или положительное на положительное будет положительное число. Производная положительная функция возрастает.

При переходе от убыванию к возрастанию  - точка локального минимума.
-5   точка минимума.