а) Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …).
Итак, у нас на доске могут быть записаны числа 1, 2, 3, 4. 5. Наибольшее число - 5.
1. Очевидно, что минимальная сумма чисел будет тогда, когда записаны одни единицы.
2. Минимальный шаг прироста суммы тоже единица. мы заинтересованы чтобы прирост был минимальным.

Для примера возьмем 7 чисел. Мы заинтересованы, чтобы каждое число было минимальным. Тогда нам надо брать одни единицы.

	числа	количество	сумма	прибавка к сумме	сумма которую надо распределить на оставшиеся числа
1 день	1, 1 ,1, 1, 1, 1, 1	7	7	0	0
2 день	1, 1, 1, 1, 1, 3 или 1, 1, 1, 1, 2, 2	6	8	+1	+2
3 день	1, 1, 1, 1, 5 или 1, 1, 1, 3, 3 или 1, 2, 2, 2, 2	5	9	+2	+4

На каждом шаге сумма должна становиться больше на 1.  То есть  мы прибавляем одну единицу.
Однако на каждом шаге у нас мы теряем одно число, минимальная потеря, пока есть единицы - это  1. Значит мы прибавляем еще  одну единицу. То есть на каждом шаге нам надо прибавить к оставшимся числам 2.  Проще всего удалять единицу и менять еще одну единицу из оставшихся чисел на тройку.  А когда все числа станут 3, менять тройку на пятерку.

Дальше мы все варианты писать не будем.

	числа	количество	сумма	прибавка к сумме	сумма которую надо распределить на оставшиеся числа
4 день	1, 1, 3, 5 или 1, 3, 3, 3	4	10	+3	+6
5 день	3, 3, 5 или 1 ,5, 5	3	11	+4	+8
6  день	5, 5	2	должна быть 12 а у нас только 10	+5	+10

6 день - мы не смогли выполнить условия. У нас только 2 числа осталось, и максимальная сумма 5+5=10.  в нам надо получить сумму 12.
В 6 день у нас должна быть прибавка +10. которую надо расписать по числам. Это может быть только 3 и более чисел, каждое из которых меньше 6. 
2+5+5=12
4+4+4=12
1+3+3+5=12
1+1+5+5=12
С одной стороны нам повезло, когда мы взяли 7 чисел, на 5 день у нас была ещё была единица среди чисел, и удаляя одно число мы могли удалить единицу. Но с другой стороны нам не повезло, мы изначально взяли очень мало чисел.  Надо брать больше как минимум 8 чисел, а лучше и ещё больше. 
То есть алгоритм нам понятен, можно привести пример или доказать математически выведя общую формулу изменений.  Проще привести пример.

день 1. 10 единиц, 10*1=10 количество чисел 10, сумма 10
день 2. 8 единиц,  1 тройка,  8*1+1*3=11  количество чисел 9, сумма 11
день 3. 6 единиц,  2 тройки,  6*1+2*3=12 количество чисел 8, сумма 12
день 4. 4 единицы, 3 тройки,  4*1+3*3=13 количество чисел 7, сумма 13
день 6. 2 единицы, 4 тройки, 2*1+4*3=14 количество чисел 6, сумма 14

Пункт а решён.

б)
В чем проблема?
В первый день мы запишем все тройки, и одну двойку. Среднее арифметическое будет чуть меньше 3.
Проблема в том, что в последующие дни должно быть достаточно чисел, больших чем 4, то есть 5, чтобы компенсировать тройки и двойку. Можно ли решить все прямо за 2 дня?

день	числа	количество	сумма	их среднее арифметическое за эти дни	их среднее арифметическое за все дни
1	десять троек и одна двойка	11	10*3+2=32	за первый день m=32/11=2,90(90)	2,90(90)
2	десять пятерок	10	50	за второй день m=50/10=5	(50+32)/(11+10)= 82/21=3,90

За 2 дня нам никак не справится, даже если у нас будет миллион или даже большее число цифр. Все дело в том, сколько пятерок нам требуется относительно цифр первого шага.

день (k)	количество чисел (n)	числа	число пятерок	общее число пятерок
1	n +1	1*2+n*3	0	0
2	n	n*4	0	0
3	n-1	(n-1-5)*4+5*5= (n-6)*4 +5*5	5=5*(k-2)	5
4	n-2	(n-2-10)*4+10*5= (n-12)*4+10*5	10=5*(k-2)	5+10=15
5	n-3	(n-3-15)*4+15*5= (n-18)*4+15*5	15=5*(k-2)	5+10+15=20
6	n-4	(n-4-20)*4+15*6= (n-24)*4+20*5	20=5*(k-2)	5+10+15+20=40

На втором шаге запишем все четверки для наглядности.
На шаге 3 у нас одна четверка уходит за счет сокращения общего числа чисел.
Чтобы компенсировать потерю четверки у нас должно появиться сразу 5 пятерок вместо четверок.  Нам надо увеличить числа в на следующем шаге относительно предыдущего на 5.  На +4 за счет потери одной четверки, +1 правило увеличения суммы на следующем шаге. То есть надо заменить 5 четверок на 5 пятерок.
Задача сводится к тому чтобы  посчитать  число пятерок на всех шагах.
Сколько у нас должно быть пятерок?

  $\displaystyle { \frac{(2+5+5)}{3}=4 } \\ \displaystyle { \frac{(3+5)}{2}=4 } \\$

1) Четверки на изменение среднего арифметического относительно 4 не влияют. За числом четвёрок мы не следим.
2) На двойку, что была в самом начале - нужно 2 пятерки, чтобы среднее арифметическое было 4.
3) На каждую тройку по одной пятерке, в этом случае у нас выйдет среднее арифметическое ровно 4,
4) Ещё одна пятерка чтобы  среднее арифметическое  превысило 4.
В начале количество чисел было (n+1).  Двоек 1, троек n.
Общее количество пятерок на всех шагах должно быть  (n+2+1)=(n+3).
Вот на 4 шаге у нас 10 пятерок, а с учетом предыдущего шага общее количество 15 пятерок.
Если на 4 шаге все 10 чисел будут только пятерками, то на первом шаге надо (n-2)=10, n=12, (n+1)=(12+1)=13, на первом шаге нужно 13 чисел.
Все должно сойтись.
Шаг 1. 13 чисел, сумма 12*3+2=38 среднее арифметическое 38/13=2(12/13)=2,92<3

  $\displaystyle { \frac{38}{13}=2\frac{12}{13} \approx 2,92<3 }$

Шаг 2. 12 чисел,  сумма 12*4=48
Шаг 3. 11 чисел,  сумма 6*4+5*5=24+25=49
Шаг 4. 10 чисел, сумма  5*10=50
Общая сумма 38+48+49+50=185, количество чисел 13+12+11+10=46, среднее арифметическое 185/46=4(1/46)=4,02>4

 $\displaystyle { \frac{185}{46}=4\frac{1}{46} \approx 4,02>4 }$ 

в) В чем суть проблемы и как решать задачу?
Решать судя по всему проще перебором. Но надо заметить некоторые закономерности.
1) если на 1 шаге у нас 2 числа, то второго шага быть не может. На втором шаге у нас сумма должна быть минимум 6, но набрать 6 одним числом которое меньше 6 никак нельзя.

2) Более того, шаг на котором у нас 2 числа является последним для всех вариантов

3) отсюда еще один вывод. Даже если на этом шаге мы можем сделать сумму 7, нам надо сразу писать две пятерки, 5+5=10. На последнем шаге надо пытаться максимизировать сумму.

	2 числа	3 числа	4 числа	5 чисел	6 чисел
1 день	2,4 5,1 3,3	1,1,4 1,2,3 2,2,2	1,1,,1,3 1,1,2,2	1,1,1,1,2	1,1,1,1,1,1
2 день	не получается	5,5	3 числа	4 числа	4 числа
3 день			2 числа	3 числа	3 числа
4 день				2 числа	2 числа
5 день
сумма	6	10+6=16

рассмотрим случай с 4 числами, ибо тут возможны разные стратегии. Можно выбрать стратегию с 3 днями, кода на 3 день, у нас 2 числа  5+5, на 2 день максимальная сумма на 1 меньше - это 9.
А можно сразу на 2 день попытаться записать максимальную сумму из 3 чисел - это 15. Но тогда мы отказываемся от 3 дня.  В третий день 2 числами нельзя набрать сумму больше 15. Максимальная разрешенная сумма двух чисел 5+5=10.

4 числа	вариант 1	вариант 2
1 день	1+1+1+3=6 1+1+2+2=6	1+1+1+3=6 1+1+2+2=6
2 день	4+4+1=9	5+5+5=15
3 день	5+5=10	нет
общая сумма	10+9+6=25	15+6=21

проделаем аналогичные расчеты для 5 чисел.
Отметим что в варианте 2 когда у нас на 3 день сумма 15,  во второй день сумма может быть сумма может быть 14, на 1 меньше чем 15. Мы стремимся к максимальной сумме

5 чисел	вариант 1	вариант 2	вариант 3
1 день	1+1+1+1+2=6	1+1+1+1+2=6	1+1+1+1+2=6
2 день	2+2+2+2=8	имеем право выбрать любую сумму от 7 до 14 14 самая выгодная 2+2+5+5=14	5+5+5+5=20
3 день	3+3+3=9	5+5+5=15	нет
4 день	5+5=10	нет	нет
общая сумма	10+9+8+6 =30	15+14+6=34	20+6=26

Как мы видим, отказа от одного  шага может даже увеличивать общую сумму!  Так получается потому, что сумма последнего шага 10, ограничивает сумму каждого предыдущего шага.  Если на последнем шаге получится 5+5+5=15, и если перед ним есть еще один шаг, то он может быть  лишь на единицу меньше, то есть 14.  Проделаем аналогичные расчеты для 6 чисел, и рассмотрим схемы с меньшим числом дней, или шагов.

6 чисел	вариант 1	вариант 2	вариант 3	вариант 4
1 день	1+1+1+1+1+1=6	1+1+1+1+1+1=6	1+1+1+1+1+1=6	1+1+1+1+1+1=6
2 день	1+1+1+1+3=7	1+1+1+5+5=13	5+5+5+2+2=19	5+5+5+5+5=25
3 день	2+2+2+2=8	2+2+5+5=14	5+5+5+5=20	нет
4 день	3+3+3=9	5+5+5=15	нет	нет
5 день	5+5=10	нет	нет	нет
сумма	10+9+8+7+6=40	15+14+13+6=48	20+19+6=45	25+6=31

Итак максимум 48.