Решите неравенство
log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 12 ) + log 5 ( 5 − x ) . \log_5 \Bigl( (3− x)( x^2 + 2) \Bigr) \ge \log_5( x^2 − 7x +12) + \log_5(5 − x) . log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 1 2 ) + log 5 ( 5 − x ) .
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 12 ) + log 5 ( 5 − x ) . \log_5 \Bigl( (3− x)( x^2 + 2) \Bigr) \ge \log_5( x^2 − 7x +12) + \log_5(5 − x) . log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 1 2 ) + log 5 ( 5 − x ) .
ОДЗ:
1. Основание логарифма больше нуля, и не равно единице. У нас пятерка, выполняется.
{ ( 3 − x ) ( x + 2 ) > 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
(3− x)( x + 2) \gt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( 3 − x ) ( x + 2 ) > 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
{ − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 6 > 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
-x^3+3x^2-2x+6 \gt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 6 > 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
{ x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
x^3-3x^2+2x-6 \lt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
1) x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 = 0 ( x 3 − 3 x 2 ) + ( 2 x − 6 ) = 0 x 2 ( x − 3 ) + 2 ( x − 3 ) = 0 ( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) = 0 x^3-3x^2+2x-6 \lt 0\\
x^3-3x^2+2x-6 =0\\
(x^3-3x^2)+(2x-6)=0\\
x^2(x-3)+2(x-3)=0\\
(x-3)(x^2+2)=0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 = 0 ( x 3 − 3 x 2 ) + ( 2 x − 6 ) = 0 x 2 ( x − 3 ) + 2 ( x − 3 ) = 0 ( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) = 0
произведение 2-х чисел равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ x − 3 = 0 x 2 + 2 = 0 \left[
\begin{gathered}
x-3 =0 \\
x^2+2 = 0
\end{gathered}
\right.
[ x − 3 = 0 x 2 + 2 = 0
x − 3 = 0 x = 3 x-3=0\\
x=3 x − 3 = 0 x = 3
x 2 + 2 = 0 x 2 = − 2 x^2+2=0\\
x^2=-2\\
x 2 + 2 = 0 x 2 = − 2
Данное уравнение не имеет корней, так как любое число в четной степени будет положительным
С помощью метода интервалов расставим знаки и выберем нужный промежуток
( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) (x-3)(x^2+2) ( x − 3 ) ( x 2 + 2 )
Возьмем x=0 и подставим, получим отрицательно число, следовательно ставим знак "-"
Возьмем x=100 и подставим, получим положительно число, следовательно ставим знак "+"
Нам необходимо выбрать промежуток, где функция меньше нуля, то есть ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 )
2) x 2 − 7 x + 12 > 0 x 2 − 7 x + 12 = 0 D = 49 − 4 ⋅ 12 = 1 x 1 = 7 + 1 2 = 4 x 2 = 7 − 1 2 = 3 x^2 − 7x +12 \gt 0\\
x^2 − 7x +12 =0\\
D=49-4\cdot12=1\\
{x_1=\displaystyle{7+1\over2}=4}\\
{x_2=\displaystyle{7-1\over2}=3} x 2 − 7 x + 1 2 > 0 x 2 − 7 x + 1 2 = 0 D = 4 9 − 4 ⋅ 1 2 = 1 x 1 = 2 7 + 1 = 4 x 2 = 2 7 − 1 = 3
Следовательно промежуток будет ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) (-\infty;3)\cup(4;+\infty) ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )
3) 5 − x > 0 x < 5 ( − ∞ ; 5 ) 5-x\gt 0\\
x\lt5\\
(-\infty;5) 5 − x > 0 x < 5 ( − ∞ ; 5 )
Объединим все три получившихся промежуток и найдем ОДЗ: ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 )
Теперь перейдем к самому неравенству:
log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 12 ) + log 5 ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ ( x 2 − 7 x + 12 ) ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ 5 x 2 − x 3 − 35 x + 7 x 2 + 60 − 12 x − 9 x 2 + 45 x − 54 ≥ 0 9 x 2 − 45 x + 54 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 D = 25 − 24 = 1 x 1 = 5 + 1 2 = 3 x 1 = 5 − 1 2 = 2 \log_5 \Bigl( (3− x)( x^2 + 2) \Bigr) \ge \log_5( x^2 − 7x +12) + \log_5(5 − x) \\
3x^2+6-x^3-2x \ge (x^2 − 7x +12)(5-x)\\
3x^2+6-x^3-2x\ge 5x^2-x^3-35x+7x^2+60-12x\\
-9x^2+45x-54\ge0\\
9x^2-45x+54\le0\\
x^2-5x+6\le0\\
x^2-5x+6=0\\
D=25-24=1\\
{x_1=\displaystyle{5+1\over2}=3}\\
{x_1=\displaystyle{5-1\over2}=2}\\ log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 1 2 ) + log 5 ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ ( x 2 − 7 x + 1 2 ) ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ 5 x 2 − x 3 − 3 5 x + 7 x 2 + 6 0 − 1 2 x − 9 x 2 + 4 5 x − 5 4 ≥ 0 9 x 2 − 4 5 x + 5 4 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 D = 2 5 − 2 4 = 1 x 1 = 2 5 + 1 = 3 x 1 = 2 5 − 1 = 2
Следовательно промежуток будет [2;3]
Возвращаемся к ОДЗ и накладываем два промежутка друг на друга и получаем конечный промежуток: [2;3)
Ответ: [2;3)
Оцените своё решение
log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 12 ) + log 5 ( 5 − x ) . \log_5 \Bigl( (3− x)( x^2 + 2) \Bigr) \ge \log_5( x^2 − 7x +12) + \log_5(5 − x) . log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 1 2 ) + log 5 ( 5 − x ) .
ОДЗ:
1. Основание логарифма больше нуля, и не равно единице. У нас пятерка, выполняется.
{ ( 3 − x ) ( x + 2 ) > 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
(3− x)( x + 2) \gt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( 3 − x ) ( x + 2 ) > 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
{ − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 6 > 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
-x^3+3x^2-2x+6 \gt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 6 > 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
{ x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 2 − 7 x + 12 > 0 5 − x > 0 \begin{cases}
x^3-3x^2+2x-6 \lt 0\\
x^2 − 7x +12 \gt 0 \\
5-x\gt 0
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 2 − 7 x + 1 2 > 0 5 − x > 0
1) x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 = 0 ( x 3 − 3 x 2 ) + ( 2 x − 6 ) = 0 x 2 ( x − 3 ) + 2 ( x − 3 ) = 0 ( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) = 0 x^3-3x^2+2x-6 \lt 0\\
x^3-3x^2+2x-6 =0\\
(x^3-3x^2)+(2x-6)=0\\
x^2(x-3)+2(x-3)=0\\
(x-3)(x^2+2)=0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 < 0 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 6 = 0 ( x 3 − 3 x 2 ) + ( 2 x − 6 ) = 0 x 2 ( x − 3 ) + 2 ( x − 3 ) = 0 ( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) = 0
произведение 2-х чисел равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ x − 3 = 0 x 2 + 2 = 0 \left[
\begin{gathered}
x-3 =0 \\
x^2+2 = 0
\end{gathered}
\right.
[ x − 3 = 0 x 2 + 2 = 0
x − 3 = 0 x = 3 x-3=0\\
x=3 x − 3 = 0 x = 3
x 2 + 2 = 0 x 2 = − 2 x^2+2=0\\
x^2=-2\\
x 2 + 2 = 0 x 2 = − 2
Данное уравнение не имеет корней, так как любое число в четной степени будет положительным
С помощью метода интервалов расставим знаки и выберем нужный промежуток
( x − 3 ) ( x 2 + 2 ) (x-3)(x^2+2) ( x − 3 ) ( x 2 + 2 )
Возьмем x=0 и подставим, получим отрицательно число, следовательно ставим знак "-"
Возьмем x=100 и подставим, получим положительно число, следовательно ставим знак "+"
Нам необходимо выбрать промежуток, где функция меньше нуля, то есть ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 )
2) x 2 − 7 x + 12 > 0 x 2 − 7 x + 12 = 0 D = 49 − 4 ⋅ 12 = 1 x 1 = 7 + 1 2 = 4 x 2 = 7 − 1 2 = 3 x^2 − 7x +12 \gt 0\\
x^2 − 7x +12 =0\\
D=49-4\cdot12=1\\
{x_1=\displaystyle{7+1\over2}=4}\\
{x_2=\displaystyle{7-1\over2}=3} x 2 − 7 x + 1 2 > 0 x 2 − 7 x + 1 2 = 0 D = 4 9 − 4 ⋅ 1 2 = 1 x 1 = 2 7 + 1 = 4 x 2 = 2 7 − 1 = 3
Следовательно промежуток будет ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) (-\infty;3)\cup(4;+\infty) ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )
3) 5 − x > 0 x < 5 ( − ∞ ; 5 ) 5-x\gt 0\\
x\lt5\\
(-\infty;5) 5 − x > 0 x < 5 ( − ∞ ; 5 )
Объединим все три получившихся промежуток и найдем ОДЗ: ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 )
Теперь перейдем к самому неравенству:
log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 12 ) + log 5 ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ ( x 2 − 7 x + 12 ) ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ 5 x 2 − x 3 − 35 x + 7 x 2 + 60 − 12 x − 9 x 2 + 45 x − 54 ≥ 0 9 x 2 − 45 x + 54 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 D = 25 − 24 = 1 x 1 = 5 + 1 2 = 3 x 1 = 5 − 1 2 = 2 \log_5 \Bigl( (3− x)( x^2 + 2) \Bigr) \ge \log_5( x^2 − 7x +12) + \log_5(5 − x) \\
3x^2+6-x^3-2x \ge (x^2 − 7x +12)(5-x)\\
3x^2+6-x^3-2x\ge 5x^2-x^3-35x+7x^2+60-12x\\
-9x^2+45x-54\ge0\\
9x^2-45x+54\le0\\
x^2-5x+6\le0\\
x^2-5x+6=0\\
D=25-24=1\\
{x_1=\displaystyle{5+1\over2}=3}\\
{x_1=\displaystyle{5-1\over2}=2}\\ log 5 ( ( 3 − x ) ( x 2 + 2 ) ) ≥ log 5 ( x 2 − 7 x + 1 2 ) + log 5 ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ ( x 2 − 7 x + 1 2 ) ( 5 − x ) 3 x 2 + 6 − x 3 − 2 x ≥ 5 x 2 − x 3 − 3 5 x + 7 x 2 + 6 0 − 1 2 x − 9 x 2 + 4 5 x − 5 4 ≥ 0 9 x 2 − 4 5 x + 5 4 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 D = 2 5 − 2 4 = 1 x 1 = 2 5 + 1 = 3 x 1 = 2 5 − 1 = 2
Следовательно промежуток будет [2;3]
Возвращаемся к ОДЗ и накладываем два промежутка друг на друга и получаем конечный промежуток: [2;3)
Ответ: [2;3)