а) Решите уравнение
2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0 2\cos^3 x + \sqrt3 \cos^2 x + 2\cos x + \sqrt3 = 0 2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ − 2 π ; − π 2 ] \displaystyle { \left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right] } [ − 2 π ; − 2 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
а) 2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0 2\cos^3 x + \sqrt3 \cos^2 x + 2\cos x + \sqrt3 = 0 2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0
Применим метод группировки:
2 cos x ( cos 2 x + 1 ) + 3 ( cos 2 x + 1 ) = 0 ( cos 2 x + 1 ) ( 2 cos x + 3 ) = 0 2\cos x(\cos^2x+1)+\sqrt3(\cos^2x+1)=0\\
(\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0\\
2 cos x ( cos 2 x + 1 ) + 3 ( cos 2 x + 1 ) = 0 ( cos 2 x + 1 ) ( 2 cos x + 3 ) = 0
произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ cos 2 x + 1 = 0 2 cos x + 3 = 0 \left[
\begin{gathered}
\cos^2x+1 =0 \\
2\cos x+\sqrt3 = 0
\end{gathered}
\right. [ cos 2 x + 1 = 0 2 cos x + 3 = 0
Посмотрим внимательно на первое уравнение, оно не будет иметь корней. Квадрат любого числа больше нуля, квадрат нуля равен нулю.
cos 2 x + 1 = 0 cos 2 x ≠ − 1 \cos^2x+1=0\\
\cos^2x\neq-1 cos 2 x + 1 = 0 cos 2 x = − 1
Теперь решим второе уравнение:
2 cos x + 3 = 0 2 cos x = − 3 cos x = − 3 2 x = ± 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z 2\cos x+\sqrt3 = 0\\
2\cos x=-\sqrt3\\
\displaystyle{\cos x=-{\sqrt3\over2}}\\
\displaystyle {x=\pm\displaystyle{5\pi\over6}+2\pi k, k\in Z} 2 cos x + 3 = 0 2 cos x = − 3 cos x = − 2 3 x = ± 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
О т в е т : ± 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z Ответ: \pm\displaystyle{5\pi\over6}+2\pi k, k\in Z О т в е т : ± 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z {Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k; k \in \Z} С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = 5 π 6 − 4 π = − 19 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 5 π 6 − 2 π = − 7 π 6 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 5 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к \displaystyle {k=-2, x={5\pi\over6}-4\pi=-{19\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=-1, x={5\pi\over6}-2\pi=-{7\pi\over6}\ \ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle{k=0, x={5\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\ k = − 2 , x = 6 5 π − 4 π = − 6 1 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 6 5 π − 2 π = − 6 7 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 6 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -2 и больше 0 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ \displaystyle{ x_2= -\frac{5\pi}{6} +2\pi k; k \in \Z } Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = − 5 π 6 − 2 π = − 17 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − 5 π 6 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − 5 π 6 + 2 π = 7 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к \displaystyle {k=-1, x=-{5\pi\over6}-2\pi=-{17\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=0, x=-{5\pi\over6} \ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=1, x=-{5\pi\over6}+2\pi={7\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\ k = − 1 , x = − 6 5 π − 2 π = − 6 1 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − 6 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − 6 5 π + 2 π = 6 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : − 7 π 6 ; − 5 π 6 \displaystyle {Ответ: -{7\pi\over6} ; -{5\pi\over6}} О т в е т : − 6 7 π ; − 6 5 π
Оцените своё решение
а) 2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0 2\cos^3 x + \sqrt3 \cos^2 x + 2\cos x + \sqrt3 = 0 2 cos 3 x + 3 cos 2 x + 2 cos x + 3 = 0
Применим метод группировки:
2 cos x ( cos 2 x + 1 ) + 3 ( cos 2 x + 1 ) = 0 ( cos 2 x + 1 ) ( 2 cos x + 3 ) = 0 2\cos x(\cos^2x+1)+\sqrt3(\cos^2x+1)=0\\
(\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0\\
2 cos x ( cos 2 x + 1 ) + 3 ( cos 2 x + 1 ) = 0 ( cos 2 x + 1 ) ( 2 cos x + 3 ) = 0
произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ cos 2 x + 1 = 0 2 cos x + 3 = 0 \left[
\begin{gathered}
\cos^2x+1 =0 \\
2\cos x+\sqrt3 = 0
\end{gathered}
\right. [ cos 2 x + 1 = 0 2 cos x + 3 = 0
Посмотрим внимательно на первое уравнение, оно не будет иметь корней. Квадрат любого числа больше нуля, квадрат нуля равен нулю.
cos 2 x + 1 = 0 cos 2 x ≠ − 1 \cos^2x+1=0\\
\cos^2x\neq-1 cos 2 x + 1 = 0 cos 2 x = − 1
Теперь решим второе уравнение:
2 cos x + 3 = 0 2 cos x = − 3 cos x = − 3 2 x = ± 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z 2\cos x+\sqrt3 = 0\\
2\cos x=-\sqrt3\\
\displaystyle{\cos x=-{\sqrt3\over2}}\\
\displaystyle {x=\pm\displaystyle{5\pi\over6}+2\pi k, k\in Z} 2 cos x + 3 = 0 2 cos x = − 3 cos x = − 2 3 x = ± 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
О т в е т : ± 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z Ответ: \pm\displaystyle{5\pi\over6}+2\pi k, k\in Z О т в е т : ± 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z {Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k; k \in \Z} С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = 5 π 6 − 4 π = − 19 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 5 π 6 − 2 π = − 7 π 6 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 5 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к \displaystyle {k=-2, x={5\pi\over6}-4\pi=-{19\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=-1, x={5\pi\over6}-2\pi=-{7\pi\over6}\ \ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle{k=0, x={5\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\ k = − 2 , x = 6 5 π − 4 π = − 6 1 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 6 5 π − 2 π = − 6 7 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 6 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -2 и больше 0 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ \displaystyle{ x_2= -\frac{5\pi}{6} +2\pi k; k \in \Z } Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = − 5 π 6 − 2 π = − 17 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − 5 π 6 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − 5 π 6 + 2 π = 7 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к \displaystyle {k=-1, x=-{5\pi\over6}-2\pi=-{17\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=0, x=-{5\pi\over6} \ попадает\ в\ промежуток}\\
\displaystyle {k=1, x=-{5\pi\over6}+2\pi={7\pi\over6}\ не\ попадает\ в\ промежуток}\\ k = − 1 , x = − 6 5 π − 2 π = − 6 1 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − 6 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − 6 5 π + 2 π = 6 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : − 7 π 6 ; − 5 π 6 \displaystyle {Ответ: -{7\pi\over6} ; -{5\pi\over6}} О т в е т : − 6 7 π ; − 6 5 π