а) Решите уравнение 7^{\sin3x}\cdot3^{2\sin3x}=63^{\cos3x} 7 sin 3 x ⋅ 3 2 sin 3 x = 6 3 cos 3 x
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку \displaystyle \left [ - {\pi \over 2}; {\pi \over 2}\right] [ − 2 π ; 2 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
а ) 7 sin 3 x ⋅ 3 2 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 7 sin 3 x ⋅ 9 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 6 3 sin 3 x = 6 3 cos 3 x sin 3 x = cos 3 x П о д е л и м о б е ч а с т и у р а в н е н и я н а cos 3 x у ч и т ы в а я , ч т о 3 x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z x ≠ π 6 + π k 3 ; k ∈ Z а)\ 7^{\sin3x}\cdot3^{2\sin3x}=63^{\cos3x}\\
7^{\sin3x}\cdot9^{\sin3x}=63^{\cos3x}\\
63^{\sin3x}=63^{\cos3x}\\
\sin3x=\cos3x\\
Поделим\ обе\ части\ уравнения\ на\ \cos3x \\
\ учитывая, что\ 3x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\displaystyle{\frac{\pi k}{3}}; k\in \Z\\
а ) 7 sin 3 x ⋅ 3 2 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 7 sin 3 x ⋅ 9 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 6 3 sin 3 x = 6 3 cos 3 x sin 3 x = cos 3 x П о д е л и м о б е ч а с т и у р а в н е н и я н а cos 3 x у ч и т ы в а я , ч т о 3 x = 2 π + π k ; k ∈ Z x = 6 π + 3 π k ; k ∈ Z
sin 3 x cos 3 x = cos 3 x cos 3 x tg 3 x = 1 3 x = π 4 + π k ; k ∈ Z x = π 12 + π k 3 ; k ∈ Z О т в е т : x = π 12 + π k 3 ; k ∈ Z \displaystyle{{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}=\frac{\cos 3x}{\cos 3x}}\\
\tg 3x= 1\\
3x = \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}}+\pi k; k \in \Z\\
x = \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}+{\frac{\pi k}{3}}; k \in \Z\\
Ответ: \ x = \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}+{\frac{\pi k}{3}}; k \in \Z\\ cos 3 x sin 3 x = cos 3 x cos 3 x tg 3 x = 1 3 x = 4 π + π k ; k ∈ Z x = 1 2 π + 3 π k ; k ∈ Z О т в е т : x = 1 2 π + 3 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим как попадают корни в промежуток:
k = − 2 , x = π 12 − 2 π 3 = − 7 π 12 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = π 12 − π 3 = − π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 12 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 12 + π 3 = 5 π 12 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = π 12 + 2 π 3 = 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}-\frac{2\pi}{3}=\frac{-7\pi}{12}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= -1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}-\frac{\pi}{3}=\frac{-\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 2 , x = 1 2 π − 3 2 π = 1 2 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 1 2 π − 3 π = 4 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 1 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 1 2 π + 3 π = 1 2 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = 1 2 π + 3 2 π = 4 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 4 ; π 12 ; 5 π 12 Ответ: \displaystyle{{\frac{-\pi}{4}};\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}} О т в е т : 4 − π ; 1 2 π ; 1 2 5 π
Оцените своё решение
а ) 7 sin 3 x ⋅ 3 2 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 7 sin 3 x ⋅ 9 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 6 3 sin 3 x = 6 3 cos 3 x sin 3 x = cos 3 x П о д е л и м о б е ч а с т и у р а в н е н и я н а cos 3 x у ч и т ы в а я , ч т о 3 x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z x ≠ π 6 + π k 3 ; k ∈ Z а)\ 7^{\sin3x}\cdot3^{2\sin3x}=63^{\cos3x}\\
7^{\sin3x}\cdot9^{\sin3x}=63^{\cos3x}\\
63^{\sin3x}=63^{\cos3x}\\
\sin3x=\cos3x\\
Поделим\ обе\ части\ уравнения\ на\ \cos3x \\
\ учитывая, что\ 3x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\displaystyle{\frac{\pi k}{3}}; k\in \Z\\
а ) 7 sin 3 x ⋅ 3 2 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 7 sin 3 x ⋅ 9 sin 3 x = 6 3 cos 3 x 6 3 sin 3 x = 6 3 cos 3 x sin 3 x = cos 3 x П о д е л и м о б е ч а с т и у р а в н е н и я н а cos 3 x у ч и т ы в а я , ч т о 3 x = 2 π + π k ; k ∈ Z x = 6 π + 3 π k ; k ∈ Z
sin 3 x cos 3 x = cos 3 x cos 3 x tg 3 x = 1 3 x = π 4 + π k ; k ∈ Z x = π 12 + π k 3 ; k ∈ Z О т в е т : x = π 12 + π k 3 ; k ∈ Z \displaystyle{{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}=\frac{\cos 3x}{\cos 3x}}\\
\tg 3x= 1\\
3x = \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}}+\pi k; k \in \Z\\
x = \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}+{\frac{\pi k}{3}}; k \in \Z\\
Ответ: \ x = \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}+{\frac{\pi k}{3}}; k \in \Z\\ cos 3 x sin 3 x = cos 3 x cos 3 x tg 3 x = 1 3 x = 4 π + π k ; k ∈ Z x = 1 2 π + 3 π k ; k ∈ Z О т в е т : x = 1 2 π + 3 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим как попадают корни в промежуток:
k = − 2 , x = π 12 − 2 π 3 = − 7 π 12 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = π 12 − π 3 = − π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 12 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 12 + π 3 = 5 π 12 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = π 12 + 2 π 3 = 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}-\frac{2\pi}{3}=\frac{-7\pi}{12}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= -1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}-\frac{\pi}{3}=\frac{-\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{12}}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 2 , x = 1 2 π − 3 2 π = 1 2 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 1 2 π − 3 π = 4 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 1 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 1 2 π + 3 π = 1 2 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = 1 2 π + 3 2 π = 4 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 4 ; π 12 ; 5 π 12 Ответ: \displaystyle{{\frac{-\pi}{4}};\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}} О т в е т : 4 − π ; 1 2 π ; 1 2 5 π