Начнем исследование функции  с ОДЗ. Под знаком логарифма может быть положительное число.

  $(2-x^2+2x) \gt 0$

 $2-x^2+2x = 0\\ -x^2+2x+2 = 0\\ D= 4+8=12\\ x_1\ = \displaystyle { \frac{-2+2\sqrt3}{-2}}= 1-\sqrt3(\approx-0,73)\\ x_2 \ = \displaystyle { \frac{-2-2\sqrt3}{-2}} = 1+\sqrt3(\approx2,73)$

Можно дальше исследовать методом интервалов, представить функцию в виде произведения множителей и понять когда она больше и меньше нуля. Или нарисовать график функции. Нарисовать график довольно просто. Корни известны, a=-1, значит ветви вниз.  То что между корнями - лежит над осью x, когда y>0. Нас интересует область когда значение этой функции больше нуля

Значит ОДЗ нам дает интервал

$x \in (1-\sqrt 3; 1+\sqrt3 )$  

Исследуем функцию, найдем её экстремумы. Для этого найдем производную функции и узнаем при каких x она обращается в 0.
Также помним про Область Допустимых значений функции - то есть какие значения может принимать X.

 $(f(g(x)))\prime=f\prime(g(x)) \cdot g\prime(x)$

 $(2-x^2+2x)\prime = -2x+2$

 $\displaystyle { \log_ax=\frac{1}{x \ln a} }$

 $\displaystyle{ y\prime=\frac{-2x+2}{(2-x^2+2x)\cdot \ln9} }$ 

  $\displaystyle{ \frac{-2x+2}{(2-x^2+2x)\cdot \ln9 } = 0 }$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Однако по ОДЗ у нас квадратное уравнение, то что в знаменателе должно быть строго больше нуля! А натуральный логарифм 9 положительное число 9>e. Это сильно облегает нам задачу, исследует только числитель.

 $-2x+2=0\\ -2(x-1)=0\\$

на интервале до 1, производная положительная, функция возрастает. После 1, производная отрицательная, функция убывает.

 $y(1)= \log_9(2-1+2)+4 = \log_9(3) +4 = 0,5+4 = 4,5$ 

Ответ: 4,5