а) Решите уравнение 3^x+2\cdot3^{-x-2 }=1 3 x + 2 ⋅ 3 − x − 2 = 1
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5, 5; -1].
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
а ) 3 x + 2 ⋅ 3 − x − 2 = 1 3 x + 2 ( 3 x ) ⋅ 9 = 1 9 ⋅ 3 2 x + 2 = 9 ⋅ 3 x 9 ⋅ 3 2 x − 9 ⋅ 3 x + 2 = 0 П у с т ь 3 x = m , т о г д а : 9 m 2 − 9 m + 2 = 0 D = 81 − 72 = 9 m 1 = 9 + 3 18 = 2 3 m 2 = 9 − 3 18 = 1 3 а) 3^x+2\cdot3^{-x-2 }=1\\
3^x+\displaystyle{\frac{2}{(3^x)\cdot9}} = 1\\
9\cdot3^{2x} +2=9\cdot3^{x}\\
9\cdot3^{2x}- 9\cdot3^{x}+2=0\\
Пусть\ 3^x = m, тогда:\\
9m^2-9m+2=0\\
D = 81-72=9\\
m_1= \displaystyle{\frac{9+3}{18}} =\displaystyle{\frac{2}{3}}\\
m_2= \displaystyle{\frac{9-3}{18}} =\displaystyle{\frac{1}{3}}\\ а ) 3 x + 2 ⋅ 3 − x − 2 = 1 3 x + ( 3 x ) ⋅ 9 2 = 1 9 ⋅ 3 2 x + 2 = 9 ⋅ 3 x 9 ⋅ 3 2 x − 9 ⋅ 3 x + 2 = 0 П у с т ь 3 x = m , т о г д а : 9 m 2 − 9 m + 2 = 0 D = 8 1 − 7 2 = 9 m 1 = 1 8 9 + 3 = 3 2 m 2 = 1 8 9 − 3 = 3 1
3 x = 2 3 3 x = 3 log 3 ( 2 3 ) x = log 3 ( 2 3 ) x = log 3 ( 2 ) − 1 3^x = \displaystyle{\frac{2}{3}}\\
3^x = 3^{\log_3(\displaystyle{\frac{2}{3})}}\\
x= \log_3(\displaystyle{\frac{2}{3})}\\
x= \log_3(2) - 1 3 x = 3 2 3 x = 3 log 3 ( 3 2 ) x = log 3 ( 3 2 ) x = log 3 ( 2 ) − 1
3 x = 1 3 x = − 1 3^x=\displaystyle{\frac{1}{3}}\\
x=-1 3 x = 3 1 x = − 1
О т в е т : − 1 ; log 3 ( 2 ) − 1 Ответ:\ -1; \log_3(2) - 1 О т в е т : − 1 ; log 3 ( 2 ) − 1
б) Выберем, какие из этих корней принадлежат промежутку:
Оцените своё решение
а ) 3 x + 2 ⋅ 3 − x − 2 = 1 3 x + 2 ( 3 x ) ⋅ 9 = 1 9 ⋅ 3 2 x + 2 = 9 ⋅ 3 x 9 ⋅ 3 2 x − 9 ⋅ 3 x + 2 = 0 П у с т ь 3 x = m , т о г д а : 9 m 2 − 9 m + 2 = 0 D = 81 − 72 = 9 m 1 = 9 + 3 18 = 2 3 m 2 = 9 − 3 18 = 1 3 а) 3^x+2\cdot3^{-x-2 }=1\\
3^x+\displaystyle{\frac{2}{(3^x)\cdot9}} = 1\\
9\cdot3^{2x} +2=9\cdot3^{x}\\
9\cdot3^{2x}- 9\cdot3^{x}+2=0\\
Пусть\ 3^x = m, тогда:\\
9m^2-9m+2=0\\
D = 81-72=9\\
m_1= \displaystyle{\frac{9+3}{18}} =\displaystyle{\frac{2}{3}}\\
m_2= \displaystyle{\frac{9-3}{18}} =\displaystyle{\frac{1}{3}}\\ а ) 3 x + 2 ⋅ 3 − x − 2 = 1 3 x + ( 3 x ) ⋅ 9 2 = 1 9 ⋅ 3 2 x + 2 = 9 ⋅ 3 x 9 ⋅ 3 2 x − 9 ⋅ 3 x + 2 = 0 П у с т ь 3 x = m , т о г д а : 9 m 2 − 9 m + 2 = 0 D = 8 1 − 7 2 = 9 m 1 = 1 8 9 + 3 = 3 2 m 2 = 1 8 9 − 3 = 3 1
3 x = 2 3 3 x = 3 log 3 ( 2 3 ) x = log 3 ( 2 3 ) x = log 3 ( 2 ) − 1 3^x = \displaystyle{\frac{2}{3}}\\
3^x = 3^{\log_3(\displaystyle{\frac{2}{3})}}\\
x= \log_3(\displaystyle{\frac{2}{3})}\\
x= \log_3(2) - 1 3 x = 3 2 3 x = 3 log 3 ( 3 2 ) x = log 3 ( 3 2 ) x = log 3 ( 2 ) − 1
3 x = 1 3 x = − 1 3^x=\displaystyle{\frac{1}{3}}\\
x=-1 3 x = 3 1 x = − 1
О т в е т : − 1 ; log 3 ( 2 ) − 1 Ответ:\ -1; \log_3(2) - 1 О т в е т : − 1 ; log 3 ( 2 ) − 1
б) Выберем, какие из этих корней принадлежат промежутку: