Начнем с ОДЗ, области допустимых значений. X может быть любым (положительным, отрицательным, нулем).

Исследуем функцию, найдем её экстремумы. Для этого найдем производную функции и узнаем при каких x она обращается в 0.

$y\prime = 4e^{4x}-10e^{2x }\\ 4e^{4x}-10e^{2x } = 0\\ e^{2x }(4e^{2x }-10)=0\\$     

Произведение 2-х чисел равно нулю, когда либо один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0 

$\left[ \begin{gathered} e^{2x } =0 \\ (4e^{2x }-10) = 0 \end{gathered} \right.$

$4e^{2x }-10 = 0\\ e^{2x}= \displaystyle{\frac{5}{2}}\\ 2x = \ln 2,5\\ x= 0,5\ln2,5$

а сколько примерно будет? e=2,718281828

 $\ln2,5 \approx 1$ 

 $x = 0,5 \ln 2,5 \approx 0,5$

 $e^{2x } =0 \\$

Данное уравнение не имеет корней. Однако, может быть эта функция просто не существует в точке 0, но может иметь отрицательные и положительные значения? Нет, мы знаем, что экспоненциальная функция всегда больше нуля.

$e^{2x } \ne 0, \forall \ x \\ e^{2x } > 0, \forall \ x$

Еще раз вернемся к представлению производной в виде множителей

$e^{2x }(4e^{2x }-10)=0$ 

Как мы раньше уже сказали, что экспоненциальная функция всегда больше нуля, то можно рассматривать лишь второй множитель 

$(4e^{2x }-10)$ 

Возьмем мысленно x =-10 и подставим в множитель, он будет меньше нуля, значит производная будет меньше нуля, следовательно ставим знак "-". При переходе через точки когда производная обращается в 0, она будет менять знак. Поскольку у нас знак меняют и множители. У нас нет множителей которые обращаются в ноль в точке, но не меняют знак после прохождения этой точки (например, квадрат).

В точке

 $x= 0,5 \ln2,5$ 

производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит функция производной переходит с убывания на возрастание, следовательно это точка минимума. Именно в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Значение функции в концах отрезка, который дан в условии задачи можно даже не считать. Теперь найдем это наименьшее значение, подставив значение x в функцию

 $y= e^{4x}-5e^{2x }+11$

$y(0,5 \ln(2,5))=e^{2 \ln(2,5)}-5e^{ \ln(2,5)}+11 = e^{ \ln(2,5)^2} -5\cdot 2,5 +11 = (2,5)^2 -12,5+11= 6,25-12,5+11=4,75$ 

Ответ: 4,75