1) Пусть все грани куба равны а.
2)  $\bigtriangleup ABD$ - прямоугольный,  $\angle BAD=90 ^{\circ}$ 
По теореме Пифагора

 $BD^2=AB^2+AD^2$ 

 $BD^2=a^2+a^2=2a^2$ 
3) △BB₁D - прямоугольный,  $\angle BB_1D=90 ^{\circ}$ поскольку  $BB_1 \perp AB,\ BB_1 \perp BC$ , значит BB₁ перпендикулярно всей плоскости ABCD и любым прямым и отрезкам на этой плоскости.

 $BB_1 \perp BD$ 

По теореме Пифагора

 $B_1D^2={BB_1}^2+BD^2$ 

 $B_1D^2=a^2+2a^2=3a^2$ 

 $B_1D=\sqrt {3a^2}=a\cdot \sqrt {3}$ 
Увеличим a в 10 раз, тогда  a'=10a  Обозначим  куб у которого грань в 10 раз больше штрихом. 

 $A'B'C'D' {A_1}'{B_1}' {C_1}' {D_1}'$ 

 ${B_1}'D'=a'\sqrt {3}=10a\sqrt {3}$ 

 $\displaystyle \frac{ {B_1}'D'} {B_1D}=10$ 

Значит при увеличении ребра в 10 раз диагональ тоже увеличивается в 10 раз.

Ответ: 10