$\displaystyle { {(4x+7)^2 \over x-3}\ge {56x+49+16x^2 \over 21-10x+x^2}}$ 

Распишем знаменатель второй дроби на множители. чтобы понять к какому общему знаменателю приводить обе дроби: 

$x^2-10x+21=0\\ D = 100-84=16\\ \displaystyle{{x_1 = \frac{10+4}{2} }=7}\\ \displaystyle{{x_1 = \frac{10-4}{2} }=3}\\$  

Следовательно $x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$ 

Найдем сразу ОДЗ, знаменатель не должен равняться нулю: 

$x^2-10x+21\ne0\\ x_1\ne3\\ x_2\ne7$ 

именно эти две точки необходимо будет не включать в дальнейшем на промежутке

Вернемся к нашей дроби:  

$\displaystyle { {(4x+7)^2 \over x-3}\ge {56x+49+16x^2 \over 21-10x+x^2}}\\ \displaystyle { {(4x+7)^2 \over x-3}\ge{56x+49+16x^2 \over (x-3)(x-7)}}\\ \displaystyle { {(4x+7)^2(x-7) \over( x-3)(x-7)}\ge{56x+49+16x^2 \over (x-3)(x-7)}}\\ \displaystyle {{ {(4x+7)^2(x-7) \over( x-3)(x-7)}- {56x+49+16x^2 \over (x-3)(x-7)}\ge0}}\\$ 

$56x+49+16x^2=(4x+7)^2$  

$\displaystyle {{ {(4x+7)^2(x-7) \over( x-3)(x-7)}- {(4x+7)^2 \over (x-3)(x-7)}\ge0}}\\ \displaystyle { {(4x+7)^2(x-7)-(4x+7)^2 \over( x-3)(x-7)}\ge0}\\ \displaystyle { {(4x+7)^2(x-8) \over( x-3)(x-7)}\ge0}\\ \displaystyle { {(4x+7)^2(x-8) \over( x-3)(x-7)}=0}\\$ 

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 

$\displaystyle{\frac{a}{b}= 0},\ {a= 0}, {b\neq0}$ 

$\left[ \begin{array} {ccc} (4x+7)^2(x-8)=0 \\ (x-3)(x-7)\ne 0 \end{array} \right.$ 

$(4x+7)^2(x-8)=0\\$ 

В данном случае либо первый множитель равен нулю, либо второй 

$\left[ \begin{array} {ccc} (4x+7)^2=0 \\ (x-8)= 0 \end{array} \right.$ 

$(4x+7)^2=0\\ 4x+7=0\\ 4x=-7\\ x=\displaystyle{ \frac{-7}{4}}$ 

$x-8=0\\ x=8$ 

$(x-7)(x-3)\ne 0\\ x_1\ne7\\ x_2\ne3$ 

расставим все корни на оси х и с помощью метода интервалов определим  знаки: 

$\displaystyle { {(4x+7)^2(x-8) \over( x-3)(x-7)}=0}\\$ 

Возьмем $x=-10$ и подставим в дробь. числитель будет отрицательным, знаменатель положительным, значит дробь меньше нуля, ставим знак -. Возьмем $x=0$, числитель отрицательный, знаменатель положительный, значит дробь меньше нуля, ставим знак -. Возьмем $x=4$, числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, значит дробь больше нуля, ставим +. Возьмем $x=7,5$ числитель отрицательный, знаменатель положительным, значит дробь меньше нуля, ставим знак -. Возьмем $x=10$, числитель положительный, знаменатель положительный, значит дробь больше нуля, ставим знак +. Теперь выбираем промежутки, где дробь больше нуля. $x\in(3;7)\cup [8;+\infty)$. Но обратим внимание, что мы также еще должны взять точку $x=\displaystyle{\frac{-7}{4}}$  

$Ответ: \begin{Bmatrix} \displaystyle - {7 \over 4} \end{Bmatrix} \cup(3;7)\cup[8; +\infty)$