а) Решите уравнение \log_{ 2016 }(\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016)=1 log 2 0 1 6 ( sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 ) = 1
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку ( − 4 π 3 ; 2 π 3 ] \displaystyle( - {4\pi \over 3};\displaystyle {2\pi \over 3}] ( − 3 4 π ; 3 2 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
a ) log 2016 ( sin x + 3 cos x + 2016 ) = 1 log 2016 ( sin x + 3 cos x + 2016 ) = log 2016 ( 2016 ) sin x + 3 cos x + 2016 = 2016 sin x + 3 cos x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos x , у ч и т ы в а я , ч т о x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z sin x cos x + 3 ⋅ cos x cos x = 0 tg x = − 3 x = − π 3 + π k ; k ∈ Z О т в е т : x = − π 3 + π k ; k ∈ Z a) \log_{ 2016 }(\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016)=1\\
\log_{ 2016 }(\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016)=\log_{ 2016 }(2016)\\
\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016 = 2016\\
\sin x+ \sqrt {3}\cos x = 0\\
Поделим\ члены\ уравнения\ на\ \cos x,\ учитывая, что\ x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
\displaystyle{{\frac{\sin x}{\cos x}}+\displaystyle{\frac{\sqrt3\cdot\cos x}{\cos x}}= 0}\\
\tg x = -\sqrt3\\
x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi k;k \in \Z\\
Ответ: x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi k;k \in \Z a ) log 2 0 1 6 ( sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 ) = 1 log 2 0 1 6 ( sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 ) = log 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 ) sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 = 2 0 1 6 sin x + 3 cos x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos x , у ч и т ы в а я , ч т о x = 2 π + π k ; k ∈ Z cos x sin x + cos x 3 ⋅ cos x = 0 tg x = − 3 x = 3 − π + π k ; k ∈ Z О т в е т : x = 3 − π + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
k = − 2 , x = − π 3 − 2 π = − 7 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π 3 − π = − 4 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − π 3 + π = 2 π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -2, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{3}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = -1, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}-\pi =\displaystyle{\frac{-4\pi}{3}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 1, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi = \displaystyle{\frac{2\pi}{3}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k = − 2 , x = 3 − π − 2 π = 3 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 3 − π − π = 3 − 4 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 3 − π + π = 3 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 3 ; 2 π 3 Ответ: \displaystyle - {\pi \over 3}; \;\displaystyle {2\pi \over 3} О т в е т : − 3 π ; 3 2 π
Оцените своё решение
a ) log 2016 ( sin x + 3 cos x + 2016 ) = 1 log 2016 ( sin x + 3 cos x + 2016 ) = log 2016 ( 2016 ) sin x + 3 cos x + 2016 = 2016 sin x + 3 cos x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos x , у ч и т ы в а я , ч т о x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z sin x cos x + 3 ⋅ cos x cos x = 0 tg x = − 3 x = − π 3 + π k ; k ∈ Z О т в е т : x = − π 3 + π k ; k ∈ Z a) \log_{ 2016 }(\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016)=1\\
\log_{ 2016 }(\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016)=\log_{ 2016 }(2016)\\
\sin x+ \sqrt {3}\cos x+2016 = 2016\\
\sin x+ \sqrt {3}\cos x = 0\\
Поделим\ члены\ уравнения\ на\ \cos x,\ учитывая, что\ x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
\displaystyle{{\frac{\sin x}{\cos x}}+\displaystyle{\frac{\sqrt3\cdot\cos x}{\cos x}}= 0}\\
\tg x = -\sqrt3\\
x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi k;k \in \Z\\
Ответ: x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi k;k \in \Z a ) log 2 0 1 6 ( sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 ) = 1 log 2 0 1 6 ( sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 ) = log 2 0 1 6 ( 2 0 1 6 ) sin x + 3 cos x + 2 0 1 6 = 2 0 1 6 sin x + 3 cos x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos x , у ч и т ы в а я , ч т о x = 2 π + π k ; k ∈ Z cos x sin x + cos x 3 ⋅ cos x = 0 tg x = − 3 x = 3 − π + π k ; k ∈ Z О т в е т : x = 3 − π + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
k = − 2 , x = − π 3 − 2 π = − 7 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π 3 − π = − 4 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − π 3 + π = 2 π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -2, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{3}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = -1, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}-\pi =\displaystyle{\frac{-4\pi}{3}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 1, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+\pi = \displaystyle{\frac{2\pi}{3}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k = − 2 , x = 3 − π − 2 π = 3 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 3 − π − π = 3 − 4 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 3 − π + π = 3 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 3 ; 2 π 3 Ответ: \displaystyle - {\pi \over 3}; \;\displaystyle {2\pi \over 3} О т в е т : − 3 π ; 3 2 π