Начнем с ОДЗ, области допустимых значений. У нас x в знаменателе дроби, значит x не равен нулю.

 $x\ne0$ 

Исследуем функцию, найдем её экстремумы. Для этого найдем производную функции и узнаем при каких x она обращается в 0.

Для более удобного нахождения производной, немного преобразуем изначальную функцию:

 $\displaystyle { y=- {x^2+576 \over x}=\frac{-x^2}{x}-\frac{576}{x} = -x-\frac{576}{x} }$ 

 $\displaystyle { y\prime = -1 + {576 \over x^2}}\\ \displaystyle { -1 + {576 \over x^2} = 0 }\\ \displaystyle { {576 \over x^2} = 1 }\\ x^2=576\\ x=\pm24$

Представим уравнение в виде произведения множителей.

$(x+24)(x-24)=0$

По методу интервалов расставим положительные или отрицательные знаки и поймем когда функция возрастает, а когда убывает. При переходе через точки когда производная обращается в 0, она будет менять знак по методу интервалов. Поскольку у нас знак меняют и множители. У нас нет множителей которые обращаются в ноль в точке, но не меняют знак после прохождения этой точки (например, квадрат). Отметим, что в точке x=0, которая у нас исключена ОДЗ, еще и производная не определена, но эту точку мы просто исключаем, при переходе через 0 смены знака нет.

Мысленно возьмем x=100  и подставим в производную, она будет меньше нуля, следовательно ставим знак "+", производная больше нуля.   При переходе через точки когда производная обращается в 0, она будет менять знак по методу интервалов. Поскольку у нас знак меняют и множители. У нас нет множителей которые обращаются в ноль в точке, но не меняют знак после прохождения этой точки (например, квадрат).

В точке  x=-24 производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит функция производной переходит с убывания на возрастание, следовательно это точка минимума. А нас просят найти точку максимума. Рассмотрим точку x=24  производная меняет свой знак с плюса на минус, значит функция производной переходит с возрастания на убывание , следовательно это точка максимума.

Ответ: 24