Последовательность действий: находим АС, затем находим АС₁
Все грани в прямоугольном параллелепипеде прямоугольники, ребра сходящегося в одной вершине взаимно перпендикулярны.

1)  $\bigtriangleup ABC$ - прямоугольный  $\angle ABC=90^{\circ}$ прямой, поскольку АВСD прямоугольник.
По теореме Пифагора
 $AC^2=AB^2+BD^2$ 
 $AB=CD$ 
 $AD=BC$ 
У прямоугольника противоположные стороны равны

 $AC^2=AB^2+AD^2$ 

 $AC=\sqrt {AB^2+AD^2}=\sqrt {5^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt {28}$ 

2) △AC₁C - прямоугольный

 $C_1C\perp BC$,  $C_1C\perp CD$ 
А значит перпендикулярно всей плоскости АВСD и всем прямым и отрезкам на этой плоскости, в том числе и АС.

 $\angle ACC_1$ - прямой
По теореме Пифагора
 ${AC_1}^2=AС^2+{СС_1}^2$ 
 $AC_1=\sqrt {AС^2+{СС_1}^2}=\sqrt { (\sqrt 28)^2+(2\sqrt 2)^2}=\sqrt {28+4\cdot2}=\sqrt {36}=6$ 

Ответ: 6