1) Итак нам надо найти длину катета AH в прямоугольном треугольнике AHC, где угол H -прямой, поскольку CH - это высота в треугольнике ABC опущенная на сторону  AB. 

2) Мы берем треугольник AHC  поскольку в нем есть данные о стороне AC.   AC=4 дано по условиям задачи,

Трегугольник HAC премоугольный, угол H прямой, поскольку HC - это высота по условиям задачи.  AC гипотенуза. Тогда

3) Нам известен угол B (вернее синус этого угла). Угол A можно выразить через угол B. 

 Сумма углов треугольника 180 градусов, а в треугольнике  ABC  90 градусов уже пришлось на прямой угол С, на два других угла остается только 90 градусов. 

 $\displaystyle A+B= \frac {\pi} {2}$ 

 $\displaystyle A = \frac {\pi} {2} - B$ 

Мы ищем косинус угла A.

вспомним формулы приведения

 $\displaystyle \cos ( \frac {\pi} {2} - \alpha) =\sin \alpha$ 

 $\displaystyle \cos A = \cos (\frac {\pi} {2} - B) = \sin B$

а синус B сдан нам в начале по условиям задачи

 $\displaystyle \sin B = \frac{1}{\sqrt {5} }$ 

3) теперь нам надо найти катет AH

 $HA = AC \cdot \cos A$ 

 $\displaystyle HA = AC \cdot \frac{1}{\sqrt {5} }$ 

 $\displaystyle HA = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt {5} } = \frac{4}{\sqrt {5} }$ 

4) по условиям нам надо найти   $2\sqrt {5}АН$ 

 $\displaystyle 2\sqrt {5}АН = 2\sqrt {5} \cdot \frac{4}{\sqrt {5} } = 2 \cdot 4 = 8$ 

Ответ 8