а) Решите уравнение
3^{4\sin x } +4 \cdot 3^{2\sin x }-21=0 3 4 sin x + 4 ⋅ 3 2 sin x − 2 1 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[ − 3 π ; − 3 π 2 ] \displaystyle { [-3\pi;\displaystyle - {3\pi \over 2}] } [ − 3 π ; − 2 3 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
а) Пусть 32sinx = m, тогда:
m 2 + 4 m − 21 = 0 m^2+4m-21=0 m 2 + 4 m − 2 1 = 0
D = 16 + 84 = 100 D= 16+84=100 D = 1 6 + 8 4 = 1 0 0
m 1 = − 4 + 10 2 = 3 \displaystyle{ m_1={\frac{-4+10}{2}}=3}
m 1 = 2 − 4 + 1 0 = 3
m 2 = − 4 − 10 2 = − 7 \displaystyle{m_2= {\frac{-4-10}{2}}=-7} m 2 = 2 − 4 − 1 0 = − 7
Теперь сделаем обратную замену:
3 2 sin x = − 7 3^{2\sin x } = -7 3 2 sin x = − 7
3 положительное число, в какую степень ее не возводи, всегда в результате будет
положительное число. Поэтому равенство не будет выполнятся при любых x.
Поэтому рассматриваем только корень 3
3 2 sin x = 3 2 sin x = 1 sin x = 0 , 5 x 1 = π 6 + 2 π k ; k ∈ Z x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 6 + 2 π k ; x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z 3^{2\sin x } = 3\\
2\sin x =1\\
\sin x = 0,5\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+2\pi k;
x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
3 2 sin x = 3 2 sin x = 1 sin x = 0 , 5 x 1 = 6 π + 2 π k ; k ∈ Z x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = 6 π + 2 π k ; x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
Для начала переберем корни для
x 1 = π 6 + 2 π k ; k ∈ Z \displaystyle{ x_1= \frac{\pi}{6}+2\pi k; k \in \Z} x 1 = 6 π + 2 π k ; k ∈ Z
сам промежуток нам проще представить как дробь с основанием 6
[ − 18 π 6 ; − 9 π 6 ] \displaystyle { [ -\frac{18\pi}{6}; -\frac{9\pi}{6} ] } [ − 6 1 8 π ; − 6 9 π ]
k=-2
x = π 6 − 4 π = − 23 π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}-4\pi = \frac{-23\pi}{6} } x = 6 π − 4 π = 6 − 2 3 π
не попадает в промежуток
k=-1
x = π 6 − 2 π = − 11 π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}-2\pi = \frac{-11\pi}{6} } x = 6 π − 2 π = 6 − 1 1 π
попадает в промежуток
k=0
x = π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} } x = 6 π не попадает в промежуток
Брать числа меньше -2 и больше 1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k; k \in \Z Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = 5 π 6 − 4 π = − 19 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 5 π 6 − 2 π = − 7 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-2, x= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}-4\pi = \displaystyle{\frac{-19\pi}{6}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k=-1, x= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{6}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 2 , x = 6 5 π − 4 π = 6 − 1 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 6 5 π − 2 π = 6 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -2 и больше -1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : − 11 π 6 \displaystyle{ Ответ: {-11\pi \over 6} } О т в е т : 6 − 1 1 π
Оцените своё решение
а) Пусть 32sinx = m, тогда:
m 2 + 4 m − 21 = 0 m^2+4m-21=0 m 2 + 4 m − 2 1 = 0
D = 16 + 84 = 100 D= 16+84=100 D = 1 6 + 8 4 = 1 0 0
m 1 = − 4 + 10 2 = 3 \displaystyle{ m_1={\frac{-4+10}{2}}=3}
m 1 = 2 − 4 + 1 0 = 3
m 2 = − 4 − 10 2 = − 7 \displaystyle{m_2= {\frac{-4-10}{2}}=-7} m 2 = 2 − 4 − 1 0 = − 7
Теперь сделаем обратную замену:
3 2 sin x = − 7 3^{2\sin x } = -7 3 2 sin x = − 7
3 положительное число, в какую степень ее не возводи, всегда в результате будет
положительное число. Поэтому равенство не будет выполнятся при любых x.
Поэтому рассматриваем только корень 3
3 2 sin x = 3 2 sin x = 1 sin x = 0 , 5 x 1 = π 6 + 2 π k ; k ∈ Z x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 6 + 2 π k ; x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z 3^{2\sin x } = 3\\
2\sin x =1\\
\sin x = 0,5\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{6}}+2\pi k;
x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k;k \in \Z\\
3 2 sin x = 3 2 sin x = 1 sin x = 0 , 5 x 1 = 6 π + 2 π k ; k ∈ Z x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = 6 π + 2 π k ; x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
Для начала переберем корни для
x 1 = π 6 + 2 π k ; k ∈ Z \displaystyle{ x_1= \frac{\pi}{6}+2\pi k; k \in \Z} x 1 = 6 π + 2 π k ; k ∈ Z
сам промежуток нам проще представить как дробь с основанием 6
[ − 18 π 6 ; − 9 π 6 ] \displaystyle { [ -\frac{18\pi}{6}; -\frac{9\pi}{6} ] } [ − 6 1 8 π ; − 6 9 π ]
k=-2
x = π 6 − 4 π = − 23 π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}-4\pi = \frac{-23\pi}{6} } x = 6 π − 4 π = 6 − 2 3 π
не попадает в промежуток
k=-1
x = π 6 − 2 π = − 11 π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}-2\pi = \frac{-11\pi}{6} } x = 6 π − 2 π = 6 − 1 1 π
попадает в промежуток
k=0
x = π 6 \displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} } x = 6 π не попадает в промежуток
Брать числа меньше -2 и больше 1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 5 π 6 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}+2\pi k; k \in \Z Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 6 5 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = 5 π 6 − 4 π = − 19 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 5 π 6 − 2 π = − 7 π 6 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-2, x= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}-4\pi = \displaystyle{\frac{-19\pi}{6}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k=-1, x= \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{6}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 2 , x = 6 5 π − 4 π = 6 − 1 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 6 5 π − 2 π = 6 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -2 и больше -1 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : − 11 π 6 \displaystyle{ Ответ: {-11\pi \over 6} } О т в е т : 6 − 1 1 π