$\log_2(x-3)^2+\log_{0,5}(x^2-9)\lt 1$ 

ОДЗ: Под знаком логарифма должно быть положительное число. Посмотрим на первый логарифм, там выражение в квадрате, так как любое число в квадрате будет больше нуля, то в данном случае оно не должно равняться нулю.

$\left[ \begin{gathered} x-3\ne0\\ x^2-9\gt0 \end {gathered} \right.$ 

Теперь решим каждое неравенство отдельно 

$x-3\ne0\\ x\ne3$ 

$x^2-9\gt0\\ x^2-9=0\\ x=\pm3$  

a=1, a>0 ветви вверх, на промежутке от x₁ до x₂ функция отрицательная, а на других промежутках положительная. 

промежуток$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$ 

ОДЗ: $x\in (-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$ 

Вернемся к нашему неравенству: 

$\log_2(x-3)^2+\log_{0,5}(x^2-9)\lt 1\\ \log_2(x-3)^2+\log_{2}(x^2-9)^{-1}\lt 1\\ \log_2\displaystyle{{\frac{(x-3)^2}{x^2-9}}\lt 1}\\ \log_2\displaystyle{{\frac{(x-3)^2}{x^2-9}}\lt \log_22}\\ \displaystyle{{\frac{(x-3)^2}{x^2-9}}\lt 2}\\ \displaystyle{{\frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}\lt 2}\\ \displaystyle{{\frac{(x-3)}{(x+3)}}\lt 2}\\ \displaystyle{{\frac{(x-3)}{(x+3)}}-2\lt 0}\\ \displaystyle{{\frac{(x-3-2x-6)}{(x+3)}}\lt 0}\\ \displaystyle{{\frac{-x-9}{(x+3)}}\lt 0}\\ \displaystyle{{\frac{-x-9}{(x+3)}}= 0}\\$

дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 

$\displaystyle{\frac{a}{b}= 0},\ {a= 0}, {b\neq0}$ 

$\left[ \begin{array} {ccc} -x-9=0 \\ x+3\ne 0 \end{array} \right.$ 

$\left[ \begin{array} {ccc} x=-9 \\ x\ne -3 \end{array} \right.$

С помощью метода интервалов расставим знаки 

$\displaystyle{{\frac{-x-9}{(x+3)}}= 0}\\$ 

Возьмем $x=-100$ и подставим в дробь, числитель положительный, знаменатель отрицательный, значит дробь меньше нуля, ставим знак -. Возьмем $x=-5$, числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, значит дробь больше нуля. Возьмем $x=0$, числитель отрицательный, знаменатель положительный. значит дробь меньше нуля, ставим знак минус. Нам надо выбрать промежуток, где дробь меньше нуля, это $x\in (-\infty;-9)\cup(-3;+\infty)$ 

Теперь учтем ОДЗ и наложим промежутки друг на друга: 

получается промежуток: $x\in(-\infty;-9)\cup(3; +\infty)$ 

$Ответ: (-\infty;-9)\cup(3; +\infty)$