а) Решите уравнение \displaystyle {1 \over \sin^2x} -1-ctgx=0 sin 2 x 1 − 1 − c t g x = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \displaystyle [ - {\pi \over 2} ;{\pi \over 2}] [ − 2 π ; 2 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
a ) 1 sin 2 x − 1 − c t g x = 0 a) \displaystyle {1 \over \sin^2x} -1-ctgx=0 a ) sin 2 x 1 − 1 − c t g x = 0
В о с п о л ь з у е м с я ф о р м у л о й 1 sin 2 x = 1 + ctg 2 x 1 + ctg 2 x − 1 − ctg x = 0 ctg 2 x − ctg x = 0 ctg x ( ctg x − 1 ) = 0 Воспользуемся\ формулой\ \displaystyle {1 \over \sin^2x} =1+\ctg^2x\\
1+\ctg^2x -1-\ctg x = 0\\
\ctg^2x -\ctg x=0\\
\ctg x(\ctg x-1)=0
В о с п о л ь з у е м с я ф о р м у л о й sin 2 x 1 = 1 + ctg 2 x 1 + ctg 2 x − 1 − ctg x = 0 ctg 2 x − ctg x = 0 ctg x ( ctg x − 1 ) = 0
Произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ ctg x = 0 ctg x − 1 = 0 \left[
\begin{array} {ccc}
\ctg x=0 \\
\ctg x-1 = 0
\end{array}
\right. [ ctg x = 0 ctg x − 1 = 0
ctg x = 0 x 1 = π 2 + π k ; k ∈ Z \ctg x=0\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; k \in \Z ctg x = 0 x 1 = 2 π + π k ; k ∈ Z
ctg x − 1 = 0 ctg x = 1 x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z \ctg x-1 = 0\\
\ctg x=1\\
x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z ctg x − 1 = 0 ctg x = 1 x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 2 + π k ; x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z Ответ: \ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z О т в е т : x 1 = 2 π + π k ; x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток
Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 2 + π k ; k ∈ Z Для\ начала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; k \in \Z Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 2 π + π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = π 2 − 2 π = − 3 π 2 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = π 2 − π = − π 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-2, x= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-3\pi}{2}}\ не попадает\ в\ промежуток\\
k=-1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-\pi = \displaystyle{\frac{-\pi}{2}}\ попадает\ в\ промежуток \\
k=0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\ попадает\ в\ промежуток k = − 2 , x = 2 π − 2 π = 2 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 2 π − π = 2 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Числа меньше -2 и больше нуля нет смысла брать, так как эти корни уже точно не попадут в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 4 − π = − 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 4 + π = 5 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}-\pi = \displaystyle{\frac{-3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k=1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi =\displaystyle{\frac{5\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 4 π − π = 4 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 4 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 4 π + π = 4 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 2 ; π 4 ; π 2 Ответ: \displaystyle{\frac{-\pi}{2}}; \displaystyle{\frac{\pi}{4}}; \displaystyle{\frac{\pi}{2}} О т в е т : 2 − π ; 4 π ; 2 π
Оцените своё решение
a ) 1 sin 2 x − 1 − c t g x = 0 a) \displaystyle {1 \over \sin^2x} -1-ctgx=0 a ) sin 2 x 1 − 1 − c t g x = 0
В о с п о л ь з у е м с я ф о р м у л о й 1 sin 2 x = 1 + ctg 2 x 1 + ctg 2 x − 1 − ctg x = 0 ctg 2 x − ctg x = 0 ctg x ( ctg x − 1 ) = 0 Воспользуемся\ формулой\ \displaystyle {1 \over \sin^2x} =1+\ctg^2x\\
1+\ctg^2x -1-\ctg x = 0\\
\ctg^2x -\ctg x=0\\
\ctg x(\ctg x-1)=0
В о с п о л ь з у е м с я ф о р м у л о й sin 2 x 1 = 1 + ctg 2 x 1 + ctg 2 x − 1 − ctg x = 0 ctg 2 x − ctg x = 0 ctg x ( ctg x − 1 ) = 0
Произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ ctg x = 0 ctg x − 1 = 0 \left[
\begin{array} {ccc}
\ctg x=0 \\
\ctg x-1 = 0
\end{array}
\right. [ ctg x = 0 ctg x − 1 = 0
ctg x = 0 x 1 = π 2 + π k ; k ∈ Z \ctg x=0\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; k \in \Z ctg x = 0 x 1 = 2 π + π k ; k ∈ Z
ctg x − 1 = 0 ctg x = 1 x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z \ctg x-1 = 0\\
\ctg x=1\\
x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z ctg x − 1 = 0 ctg x = 1 x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 2 + π k ; x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z Ответ: \ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z О т в е т : x 1 = 2 π + π k ; x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток
Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 2 + π k ; k ∈ Z Для\ начала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k; k \in \Z Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 2 π + π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = π 2 − 2 π = − 3 π 2 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = π 2 − π = − π 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-2, x= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-3\pi}{2}}\ не попадает\ в\ промежуток\\
k=-1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-\pi = \displaystyle{\frac{-\pi}{2}}\ попадает\ в\ промежуток \\
k=0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\ попадает\ в\ промежуток k = − 2 , x = 2 π − 2 π = 2 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = 2 π − π = 2 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 2 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Числа меньше -2 и больше нуля нет смысла брать, так как эти корни уже точно не попадут в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = π 4 + π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 4 π + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 4 − π = − 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 4 + π = 5 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}-\pi = \displaystyle{\frac{-3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k=1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi =\displaystyle{\frac{5\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 4 π − π = 4 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 4 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 4 π + π = 4 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
О т в е т : − π 2 ; π 4 ; π 2 Ответ: \displaystyle{\frac{-\pi}{2}}; \displaystyle{\frac{\pi}{4}}; \displaystyle{\frac{\pi}{2}} О т в е т : 2 − π ; 4 π ; 2 π