Начнем с ОДЗ, области допустимых значений. X может быть любым (положительным, отрицательным, нулем).

Исследуем функцию, найдем её экстремумы. Для этого найдем производную функции и узнаем при каких x она обращается в 0.

$y\prime =5x^4 - 9x^2+4\\ 5x^4 - 9x^2+4 = 0\\$

У нас биквадратное уравнение. Пусть

 $x^2= m$,

тогда:

$5m^2-9m+4=0\\ D = 81-4\cdot4\cdot 5 = 81- 80 = 1\\$ 

 $\displaystyle{m_1 = \frac{9+1}{10} = 1}$ 

 $\displaystyle{m_2 = \frac{9-1}{10} = 0,8}$

Представим уравнение в виде произведения множителей

 $5m^2 - 9m+4 = 5(m-1)(m-0,8)$

Делаем обратную замену:

 $5(m-1)(m-0,8) = 5(x^2 -1)(x^2-0,8)$

$(x_1)^2= 1\\ x_1 = \pm1$       

  $(x_2 )^2= 0,8\\ x_2 = \pm\sqrt{0,8}(\approx\pm0,9)$ 

помним, что

 $(a^2−b^2)=(a+b)(a−b)$

$5(x^2 -1)(x^2-0,8) = 5(x+1)(x-1)(x+\sqrt{0,8})(x-\sqrt{0,8})$

приравняем производную нулю

$5(x+1)(x-1)(x+\sqrt{0,8})(x-\sqrt{0,8})=0$ 

По методу интервалов расставим положительные или отрицательные знаки и поймем когда функция возрастает, а когда убывает. При переходе через точки когда производная обращается в 0, она будет менять знак по методу интервалов. Поскольку у нас знак меняют и множители. У нас нет множителей которые обращаются в ноль в точке, но не меняют знак после прохождения этой точки (например, квадрат). Возьмём мысленно X=100 и подставим в производную, она будет больше нуля, следовательно ставим знак +.  Далее при прохождении через точки у нас знак произведения сомножителей будет меняться.

У нас интервал от -3 до -1 включая крайние точки интервала. В точке x=-1 производная меняет свой знак с плюса на минус, значит функция производной переходит с возрастания на убывание, следовательно это точка локального максимума. Возможно, что в точке другого локального максимума  при

$x=\sqrt{0,8}$
функция имеет ещё большее значение, но вот только второй локальный максимум не входит в наш интервал. И сравнивать какой из двух максимумов больше не нужно.
 Подставим -1 в функцию 

$y=x^5-3x^3+4x$ 

$y(-1)=(-1)^5-3(-1)^3+4(-1)= -1+3-4=-2$ 

Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке x=-1  и  равно -2 

Ответ: -2