1)  $S_{куба} =6\cdot S_{стороны}$ 

 $S_{стороны}=6a^2$ 

 $a - ребро\ куба$ 

 $a=\displaystyle \sqrt { \frac {S_{куба} } {6}}= \sqrt { \frac {242} {6}}$ 

2) Рассмотрим  $\bigtriangleup AC_1C$ 

C₁A- это диагональ куба. C₁C = a

$$
\bigtriangleup AC_1C - прямоугольный,  угол С₁СА - прямой, поскольку $C_1C\perp ABCD$ 

3) АС - диагональ квадрата ABCD
Рассмотрим  $\bigtriangleup ACD$
 $\angle CDA=90^{\circ} (прямой \ угол)$ 

По теореме Пифагора

 $AC^2=AD^2+DC^2=a^2+a^2=2a^2$ 

4) Вернемся к △AC1​C

 ${AC_1}^2=AC^2+{CC_1}^2$ 

 $AC_1^2=2a^2+a^2=3a^2$ 

 $AC_1=\sqrt {3a^2}$ 

 $AC_1=\sqrt {3 \displaystyle \left( \sqrt \frac {242} {6} \right)^2} =\sqrt{ \displaystyle \frac {3 \cdot 242} {6}} =\sqrt {121}=11$ 

Ответ: 11