Начнем с ОДЗ, области допустимых значений. Под знаком логарифма должно стоять положительное число.

 $x+5 \ge0$ 

 $x \ge -5$

$(u(x) v(x))^{\prime} = u(x)^{\prime} v(x) + u(x)v(x)^{\prime} \\ (f(g(x)))\prime=f\prime(g(x)) \cdot g\prime(x)$

  $\displaystyle{ y\prime = 7 - \frac{7}{x+5}}$  

приравняем производную нулю и найдем экстремумы функции

 $\displaystyle{ y\prime = 7 - \frac{7}{x+5} = 0}$  

избавимся от дроби, домножим на (x+5), то есть на знаменатель, левую и правую части уравнения

 $\displaystyle{ 7(x+5) - \frac{7(x+5)}{x+5}=0 }$

  $7x+35 -7=0$

  $7x+28=0$

$7(x+4)=0$

По методу интервалов расставим положительные или отрицательные знаки и поймем когда функция возрастает, а когда убывает.
Нам надо понять когда производная больше нуля а когда меньше нуля. Уравнение у нас обращается в ноль при x=-4. При прохождении через эту точку производная меняет знак, поскольку по методу интервалов мы видим, что у нас множитель меняет знак. Множителей который в некоторых точках обращаются в ноль, но не меняют знак при прохождении через точку у нас нет (например, квадраты в ноль обращаются, но знак не меняют)

Мысленно возьмем x=10 и подставим в производную. Она будет больше нуля, следовательно ставим знак "+".  При переходе через x=-4 производная меняет знак. Расставим знаки на рисунке.

В точке x=-4 производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит функция производной переходит с убывания на возрастание, следовательно это точка минимума. Именно в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Значение функции в концах отрезка, который дан в условии задачи можно даже не считать. Теперь найдем это наименьшее значение, подставив значение x в функцию

 $y=7x-7\ln(x+5)+3,8$

$y(-4)=7\cdot(-4) -7\ln(-4+5)+3,8 = -28 +0+3,8 = -24,2$ 

Ответ: -24,2