Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох, или угловому коэффициенту касательной.

Уравнение прямой y=kx+b, так вот для касательной производная численно равна коэффициенту k, или tg угла между прямой и осью Ox.

1. Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу альфа, угол бета  смежный с углом альфа.

 $\alpha + \beta = \pi$ 

 $\tg \alpha =\tg ( \pi - \beta ) = - \tg \beta$ 

Уголь бета  мы можем найти из фигур на рисунке.  Построим треугольник ABC с вершинами в точках A (−2; 1), B (−2; 4), C (−1; 1), треугольник прямоугольный, угол BAС - прямой, а угол BCA - равен углу бета,  А тангенс угола бета равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему AC.

 $y \prime (x_0) = \tg \alpha = - \tg \beta$

 по клеточкам определяем длину отрезков AB и AC

 $\displaystyle \tg \beta = \frac {AB}{AC} =\frac {3}{1} = 3$ 

 $y \prime (x_0) = - \tg \beta = -3$ 

Ответ −3

2. Альтернативный способ — это использовать уравнение прямой проведенной через 2 точки, подставить туда координаты 2х точек с касательной и вычислить коэффициент k. 

 $\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y-y_1}{y_2 - y_1}$ 

x₁ = B (−2; 4), 
x₂ = C (−1; 1),

 $\displaystyle \frac{x-(-2)}{-1 - (-2)} = \frac{y-4}{1 - 4}$ 

 $\displaystyle \frac{x+2}{1} = \frac{y-4}{ - 3}$ 

 $-3x-6=y-4$ 

 $y=-3x-2$ 

Уравнение прямой y=kx+b, коэффициент k равен  −3. 

Ответ: −3.