log3(x+8)1−log2(2x2−9x+9)≥0
ОДЗ.
1. Для дроби. Знаменатель не равен нулю. У нас в знаменателе логарифм. Логарифм равен нулю когда под знаком логарифма стоит единица
2. Для логарифмов: основание логарифма больше нуля, и не равно единице. У нас двойка, выполняется.
3. Под знаком логарифма положительное число.
Когда дробь больше нуля либо равна нулю когда?
1. Числитель больше либо равен нулю, а знаменатель больше нуля. Можно отдельно подчеркнуть, что знаменатель не равен нулю. Хотя у нас условие, что знаменатель больше нуля уже включает это условие.
ba≥0, a≥0,b>0,b=0
2. Числитель меньше либо равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Знаменатель не равен нулю. Хотя у нас условие что знаменатель меньше нуля уже включает это условие.
ba≥0, a≤0,b<0,b=0
ОДЗ.
⎩⎪⎨⎪⎧2x2−9x+9>0x+8>0log3(x+8)=0
Теперь решим каждое неравенство отдельно:
2x2−9x+9>02x2−9x+9=0D=81−72=9x1=49−3=1,5x1=49+3=3
представим квадратное уравнение в виде множителей и получим следующее неравенство 2(x-1,5)(x-3)>0
![](/upload/question_body_images/c5/ab/c5ab6e7e129ce67c178762c97bcfffe0.svg)
Подставляем x=100, знак положительный, при переходе через точки когда функция обращается в ноль, знак меняется. Нам подходят промежутки (−∞;1,5)∪(3;+∞)
Решаем второе неравенство:
x+8>0x>−8
третье неравенство
log3(x+8)=0log3(x+8)=log31(x+8)=1x=−7
Объединим полученные промежутки для трех неравенств и найдем ОДЗ:
![](/upload/question_body_images/79/0c/790c1882b888414892c16939e02206a6.svg)
ОДЗ x∈(−8;−7)∪(−7;1,5)∪(3;+∞)
Вернемся к нашему неравенству, мы дробь заменили на следующее
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡{1−log2(2x2−9x+9)≥0log3(x+8)>0{1−log2(2x2−9x+9)≤0log3(x+8)<0
Исследуем функции числителя и знаменателя, найдем на каких интервалах функции положительны и отрицательны, а когда обращаются в ноль.
1−log2(2x2−9x+9)≥0log22−log2(2x2−9x+9)≥0log2(2x2−9x+9)≤log222x2−9x+9≤2
2x2−9x+7≤02x2−9x+7=0D=81−56=25x1=49−5=1x1=49+5=3,5
Расставим знаки. Главное помнить, что мы вовсе не саму квадратичную функцию исследуем. А разность единицы и логарифма квадратичной функции. У нас числитель больше нуля, как раз когда квадратичная функция меньше нуля, и наоборот.
![](/upload/question_body_images/87/9e/879e31dc0982774dfcfea48b22cf6c51.svg)
1−log2(2x2−9x+9)≥0 когда x∈[1;3,5]1−log2(2x2−9x+9)≤0 когда x∈(−∞;1]∪[3,5;+∞)
Рассмотрим функцию в знаменателе (мы это уже делали когда решали неравенство) log3(x+8)≥0log3(x+8)≥log31(x+8)≥1x≥−7
Вот тут про ОДЗ для самого логарифма забывать нельзя.
![](/upload/question_body_images/85/51/8551170a987deb4b19920dfb776e3dce.svg)
log3(x+8)≥0 когда x∈[−7;+∞)log3(x+8)≤0 когда x∈(−8;−7]
Первая система неравенств, представим в виде координатной прямой. И числитель и знаменатель положительные. Числитель синий, знаменатель красный.
![](/upload/question_body_images/47/df/47df46ddd86afd28ddb244d9014c9348.svg)
Получаются полуинтервалы
[1;1,5)∪(3;3,5]
Далее рассмотрим случай когда числитель и знаменатель отрицательные. Числитель синий, знаменатель красный
![](/upload/question_body_images/10/af/10af7b9a5222f8d1bda8c8a0da7f5f68.svg)
С учетом ОДЗ получается интервал (−8;−7)
Если, всё объединить, то получается, что дробь будет положительна на промежутках (−8;−7)∪[1;1,5)∪(3;3,5]
Ответ:(−8;−7)∪[1;1,5)∪(3;3,5]