$\displaystyle { {1 - \log_2 (2x^2-9x+9)\over \log_3 (x+8)} \ge 0}\\$ 

ОДЗ.
1. Для дроби. Знаменатель не равен нулю.  У нас в знаменателе логарифм. Логарифм равен нулю когда под знаком логарифма стоит единица
2. Для логарифмов: основание логарифма больше нуля, и не равно единице. У нас двойка, выполняется.
3. Под знаком логарифма положительное число.

Когда дробь больше нуля либо равна нулю когда?

1. Числитель больше либо равен нулю, а знаменатель больше нуля. Можно отдельно подчеркнуть, что знаменатель не равен нулю. Хотя у нас условие, что знаменатель больше нуля уже включает это условие.  

$\displaystyle{\frac{a}{b}\ge 0},\ {a\ge 0}, {b\gt 0}, {b\neq0}$ 

2. Числитель меньше либо равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Знаменатель не равен нулю. Хотя у нас условие что знаменатель меньше нуля уже включает это условие.  

$\displaystyle{\frac{a}{b}\ge 0},\ {a\le 0}, {b\lt 0}, {b\neq0}$
ОДЗ.

$\begin{cases} 2x^2-9x+9 \gt 0\\ x+8 \gt 0 \\ \log_3 (x+8) \ne0 \end{cases}$ 

Теперь решим каждое неравенство отдельно:

$2x^2-9x+9\gt0\\ 2x^2-9x+9=0\\ D= 81-72=9\\ \displaystyle{ {x_1 = \frac{9-3}{4}}=1,5}\\ \displaystyle{ {x_1 = \frac{9+3}{4}}=3}\\$ 

представим квадратное уравнение в виде множителей  и получим следующее неравенство 2(x-1,5)(x-3)>0

 

Подставляем x=100, знак положительный, при переходе через точки когда функция обращается в ноль, знак меняется. Нам подходят промежутки $(-\infty;1,5)\cup(3;+\infty)$ 

Решаем второе неравенство: 

$x+8\gt0\\ x\gt-8$ 

третье неравенство

 $\log_3 (x+8) \ne0 \\ \log_3 (x+8) \ne \log_3 1 \\ (x+8) \ne 1 \\ x \ne -7$ 

Объединим полученные промежутки для трех неравенств и найдем ОДЗ: 

ОДЗ $x \in (-8; -7)\cup (-7;1,5)\cup(3;+\infty)$  

Вернемся к нашему неравенству, мы дробь заменили на следующее 

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} 1-\log_2(2x^2-9x+9)\ge 0 \\ \log_{3}(x+8)\gt 0\\ \end{cases} \\ \begin{cases} 1-\log_2(2x^2-9x+9) \le 0 \\ \log_{3}(x+8)\lt 0\\ \end{cases} \\ \end{gathered} \right.$ 

Исследуем функции числителя и знаменателя, найдем на каких интервалах функции положительны и отрицательны, а когда обращаются в ноль. 

$1-\log_2(2x^2-9x+9) \ge 0 \\ \log_22 - \log_2(2x^2-9x+9) \ge 0\\ \log_2(2x^2-9x+9) \le \log_22\\ 2x^2-9x+9 \le 2\\$ 

 $2x^2-9x+7\le 0\\ 2x^2-9x+7=0\\ D= 81-56=25\\ \displaystyle {{x_1 = \frac{9-5}{4}}=1}\\ \displaystyle{ {x_1 = \frac{9+5}{4}}=3,5}\\$

Расставим знаки. Главное помнить, что мы вовсе не саму квадратичную функцию исследуем. А разность единицы и логарифма квадратичной функции.   У нас числитель больше нуля, как раз когда квадратичная функция меньше нуля, и наоборот.

 $1-\log_2(2x^2-9x+9) \ge 0 \ когда\ x \in [ 1; 3,5] \\ 1-\log_2(2x^2-9x+9) \le 0 \ когда\ x \in (-\infty; 1 ] \cup [3,5; + \infty)$ 

Рассмотрим функцию в знаменателе (мы это уже делали когда решали неравенство)

 $\log_3 (x+8) \ge 0 \\ \log_3 (x+8) \ge \log_3 1 \\ (x+8) \ge 1 \\ x \ge -7$ 

Вот тут про ОДЗ для самого логарифма забывать нельзя.

 $\log_3 (x+8) \ge 0 \ когда\ x \in [-7; +\infty) \\ \log_3 (x+8) \le 0 \ когда\ x \in (-8; -7]$ 

Первая система неравенств, представим в виде координатной прямой. И числитель и знаменатель положительные. Числитель синий, знаменатель красный.

Получаются полуинтервалы

$[1;1,5)\cup(3;3,5]$

Далее рассмотрим случай когда числитель и знаменатель отрицательные. Числитель синий, знаменатель красный

С учетом ОДЗ получается интервал

$(-8;-7)$

Если, всё объединить, то получается, что дробь будет положительна на промежутках $(-8;-7)\cup[1;1,5)\cup(3;3,5]$ 

$Ответ: (-8;-7)\cup[1;1,5)\cup(3;3,5]$