а) Решите уравнение \sin 2x=\cos \displaystyle \left( {\pi \over 2}-x\right) sin 2 x = cos ( 2 π − x )
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-\pi;0 ] [ − π ; 0 ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
a ) sin 2 x = cos ( π 2 − x ) sin 2 x = sin x р а с п и ш е м с и н у с д в о й н о г о у г л а 2 ( sin x ) ⋅ cos x = sin x 2 ( sin x ) ⋅ cos x − sin x = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 a) \sin 2x=\cos \displaystyle \left( {\pi \over 2}-x\right) \\
\sin2x = \sin x \\
распишем\ синус\ двойного\ угла \\
2(\sin x )\cdot\cos x = \sin x\\
2(\sin x )\cdot\cos x - \sin x = 0 \\
\sin x(2\cos x-1)=0\\
a ) sin 2 x = cos ( 2 π − x ) sin 2 x = sin x р а с п и ш е м с и н у с д в о й н о г о у г л а 2 ( sin x ) ⋅ cos x = sin x 2 ( sin x ) ⋅ cos x − sin x = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0
произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ sin x = 0 2 cos x − 1 = 0 \left[
\begin{array} {ccc}
\sin x =0 \\
2\cos x-1 = 0
\end{array}
\right. [ sin x = 0 2 cos x − 1 = 0
sin x = 0 x 1 = π k ; k ∈ Z \sin x= 0\\
x_1= \pi k; k \in \Z sin x = 0 x 1 = π k ; k ∈ Z 2 cos x − 1 = 0 cos x = 0 , 5 x 2 = ± π 3 + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π k ; k ∈ Z ; x 2 = ± π 3 + 2 π k ; k ∈ Z 2\cos x - 1=0 \\
\cos x= 0,5\\
x_2= \pm \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\
Ответ: x_1= \pi k; k \in \Z ; x_2 = \pm \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ 2 cos x − 1 = 0 cos x = 0 , 5 x 2 = ± 3 π + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π k ; k ∈ Z ; x 2 = ± 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π k ; k ∈ Z Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \pi k; k \in \Z С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = − 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 0 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -2, x= -2\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = -1, x = -\pi\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x = 0\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 1, x= \pi\ не\ попадает\ в\ промежуток k = − 2 , x = − 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 0 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше чем -2 или больше, чем 1 не имеет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = + π 3 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2=+ \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = + 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 3 − 2 π = − 5 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-5\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 3 π − 2 π = 3 − 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 0 не имеет смысла, так как они не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − π 3 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2=-\displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 3 − 2 π = − 7 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − π 3 + 2 π = 5 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 1, x=\displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+2\pi = \displaystyle{\frac{5\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 3 π − 2 π = 3 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 3 − π + 2 π = 3 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 1 не имеет смысла, так как они не будут попадать в промежуток
О т в е т : − π ; − π 3 ; 0 Ответ: -\pi;\displaystyle - {\pi \over 3};0 О т в е т : − π ; − 3 π ; 0
Оцените своё решение
a ) sin 2 x = cos ( π 2 − x ) sin 2 x = sin x р а с п и ш е м с и н у с д в о й н о г о у г л а 2 ( sin x ) ⋅ cos x = sin x 2 ( sin x ) ⋅ cos x − sin x = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 a) \sin 2x=\cos \displaystyle \left( {\pi \over 2}-x\right) \\
\sin2x = \sin x \\
распишем\ синус\ двойного\ угла \\
2(\sin x )\cdot\cos x = \sin x\\
2(\sin x )\cdot\cos x - \sin x = 0 \\
\sin x(2\cos x-1)=0\\
a ) sin 2 x = cos ( 2 π − x ) sin 2 x = sin x р а с п и ш е м с и н у с д в о й н о г о у г л а 2 ( sin x ) ⋅ cos x = sin x 2 ( sin x ) ⋅ cos x − sin x = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0
произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй, a*b=0 когда a=0 или b=0
[ sin x = 0 2 cos x − 1 = 0 \left[
\begin{array} {ccc}
\sin x =0 \\
2\cos x-1 = 0
\end{array}
\right. [ sin x = 0 2 cos x − 1 = 0
sin x = 0 x 1 = π k ; k ∈ Z \sin x= 0\\
x_1= \pi k; k \in \Z sin x = 0 x 1 = π k ; k ∈ Z 2 cos x − 1 = 0 cos x = 0 , 5 x 2 = ± π 3 + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π k ; k ∈ Z ; x 2 = ± π 3 + 2 π k ; k ∈ Z 2\cos x - 1=0 \\
\cos x= 0,5\\
x_2= \pm \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\
Ответ: x_1= \pi k; k \in \Z ; x_2 = \pm \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ 2 cos x − 1 = 0 cos x = 0 , 5 x 2 = ± 3 π + 2 π k ; k ∈ Z О т в е т : x 1 = π k ; k ∈ Z ; x 2 = ± 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π k ; k ∈ Z Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \pi k; k \in \Z С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π k ; k ∈ Z
k = − 2 , x = − 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 0 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -2, x= -2\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k = -1, x = -\pi\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x = 0\ попадает\ в\ промежуток\\
k = 1, x= \pi\ не\ попадает\ в\ промежуток k = − 2 , x = − 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = − 1 , x = − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 0 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше чем -2 или больше, чем 1 не имеет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = + π 3 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2=+ \displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = + 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 3 − 2 π = − 5 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-5\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 3 π − 2 π = 3 − 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 0 не имеет смысла, так как они не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − π 3 + 2 π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2=-\displaystyle{\frac{\pi}{3}}+ 2\pi k; k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = − 3 π + 2 π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 3 − 2 π = − 7 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = − π 3 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = − π 3 + 2 π = 5 π 3 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = -1, x=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}-2\pi = \displaystyle{\frac{-7\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 0, x= \displaystyle{\frac{-\pi}{3}}\ попадает \ в\ промежуток\\
k = 1, x=\displaystyle{\frac{-\pi}{3}}+2\pi = \displaystyle{\frac{5\pi}{3}}\ не\ попадает \ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 3 π − 2 π = 3 − 7 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 3 − π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 3 − π + 2 π = 3 5 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 1 не имеет смысла, так как они не будут попадать в промежуток
О т в е т : − π ; − π 3 ; 0 Ответ: -\pi;\displaystyle - {\pi \over 3};0 О т в е т : − π ; − 3 π ; 0