1) Правильная призма означает, что у ней в основании лежат правильные многоугольники (в нашем случае правильные треугольники), а боковые грани правильные прямоугольники. Боковые ребра перпендикулярные основаниям призмы.
$A_1A \perp ABC$  (аналогично все боковые ребра перпендикулярны и верхнему и нижнему основаниям). 

2) Расстояние между АА₁ и СВ это отрезок AO, который должен быть перпендикулярен АА₁ и СВ.

А у нас по условию  $A_1A \perp основанию \ ABC$ .  Значит наш отрезок должен лежать в плоскости треугольника ABC чтобы быть перпендикулярным  АА₁ и проходить через точку A. 

3) Отрезок  $AO \perp CB$ , это значит он является высотой $\bigtriangleup ABC$  других вариантов нет, из точки на прямую (отрезок) можно опустить только один  перпендикуляр. Из точки A на отрезок CB можно провести только один перпендикуляр..

4) 

 $\bigtriangleup ABC$ равносторонний по условиям задачи.

Есть много способов решения этой задачи, но мы воспользуемся теоремой Пифагора.

В равностороннем треугольнике высота делит сторону на 2 равные части. 

 $\displaystyle CO=OB=\frac 1 {2} СB=\frac 1 {2} \cdot 3 \sqrt {3}=\frac {3 \sqrt {3}} {2}$ 

рассмотрим треугольник AOB 

 $AB^2=OB^2+AO^2$ ( теорема Пифагора)

 $AO^2=AB^2-OB^2$ 

 $\displaystyle AO^2= (3\sqrt {3})^2- \left( \frac {3 \sqrt {3}} {2} \right)^2=9\cdot 3 -\frac {9 \cdot 3} {4} =27-\frac {27} {4}=27(1-\frac {1} {4})=27 \cdot \frac {3} {4}=\frac {81} {4}$ 

 $\displaystyle AO=\sqrt \frac {81} {4}=\frac {9} {2}=4,5$