ЕГЭ-2019 | Математика профильная | Решение 2169 | Решите неравенство: 9x−5⋅3x+33x−4+3x+log⁡35−273x−6≤3x+4\displaystyle { { 9^ {x} -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x+\log_3}5} -27 \over 3^x-6} \le 3^x+4 }3x−49x−5⋅3x+3+3x−63x+log35...

Дисциплина: Математика профильная
Номер вопроса в билете: 15
Баллы: 2
Сложность: Повышенный

Решите неравенство:

$\displaystyle { { 9^ {x} -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x+\log_3}5} -27 \over 3^x-6} \le 3^x+4 }$

Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную. Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов. Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения. Форма для оценки находится внизу страницы.

Критерии оценки вопроса

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением или невключением крайних точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Подробное решение

$\displaystyle { { 9^ {x} -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x+\log_3}5} -27 \over 3^x-6}\le 3^x+4 }\\ \displaystyle { { (3^x)^2 -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x}}\cdot5 -27 \over 3^x-6} \le 3^x+4 }\\$

Чтобы было проще дальше решать, сделаем замену: $3^x=m$

$\displaystyle { {\frac{m^2 -5m+ 3}{m-4}} + { 5m -27 \over m-6}\ \leq m+4 }\\ \displaystyle{ \frac{(m^2 -5m+ 3)(m-6)+(5m-27)(m-4)}{(m-4)(m-6)}\leq m+4 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-5m^2+30m+3m-18+5m^2-20m-27m+108}{(m-4)(m-6)} \leq m+4 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{(m-4)(m-6)} \leq (m+4 })\\$

$\displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - (m+4)\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m+4)(m-4)(m-6)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m^2-16)(m-6)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m^3-6m^2-16m+96)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90 - m^3+6m^2+16m-96}{ (m+4)(m-6)} \leq 0 }\\$

$\displaystyle{\frac{2m-6}{(m-4)(m-6)} \leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{2(m-3)}{(m-4)(m-6)} \leq 0 } \\$

Решаем неравенство по методу интервалов. Отобразим на координатной прямой когда функция обращается в ноль или не существует в точки (в случае со знаменателем точки m=4 m=6)

Возьмем большое число m=100, здесь знак положительный. далее при прохождении через каждую точку функция меняет знак, расставляем знаки. Нас интересуют интервалы где функция меньше нуля.

Также следует вспомнить, что у нас m строго больше нуля. Ведь мы делали замену

$3^x=m$

В какую степень число не возводи, у нас будет получаться положительное число, а значит надо учесть ОДЗ для m

Запишем эти промежутки через неравенства, чтобы сделать обратную замену:

$\left[ \begin{array} {ccc} \begin{cases} m\gt0 \\ m\leq 3\\ \end{cases} \\ \begin{cases} m\gt4\\ m\lt6 \end{cases} \end{array} \right.$

Делаем обратную замену:

$\left[ \begin{array} {ccc} \begin{cases} 3^x\gt0 \\ 3^x\leq 3\\ \end{cases} \\ \begin{cases} 3^x\gt4\\ 3^x\lt6 \end{cases} \end{array} \right.$

Теперь решаем каждую систему отдельно.

Первая система

$\begin{cases} 3^x\gt0 \\ 3^x\leq 3\\ \end{cases}$

3^x>0 при любом x, рассмотрим второе неравенство

$3^x\leq 3\\ x\leq1$

Вторая система

$\begin{cases} 3^x\gt4\\ 3^x\lt6 \end{cases}$

$3^x \gt 4\\ 3^x \gt 3^{\log_3{4}}\\ x \gt \log_3{4}$

$3^x \lt 6\\ 3^x \lt3^{ \log_3{6} }\\ x \lt \log_3{6} \\$

$\left[ \begin{array} {ccc} x\leq 1\\ \begin{cases} x \gt \log_3 4\\ 3x\lt \log_3 6 \end{cases} \end{array} \right.$

Теперь изобразим это все на оси x и запишем промежутки

$Ответ: (-\infty ;1]\cup(\log_34;\log_36)$

Оцените своё решение

0 1 2

Подробное решение
$\displaystyle { { 9^ {x} -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x+\log_3}5} -27 \over 3^x-6}\le 3^x+4 }\\ \displaystyle { { (3^x)^2 -5 \cdot {3^ {x}+ 3 }\over 3^x-4} + { 3^{ {x}}\cdot5 -27 \over 3^x-6} \le 3^x+4 }\\$
Чтобы было проще дальше решать, сделаем замену: $3^x=m$
$\displaystyle { {\frac{m^2 -5m+ 3}{m-4}} + { 5m -27 \over m-6}\ \leq m+4 }\\ \displaystyle{ \frac{(m^2 -5m+ 3)(m-6)+(5m-27)(m-4)}{(m-4)(m-6)}\leq m+4 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-5m^2+30m+3m-18+5m^2-20m-27m+108}{(m-4)(m-6)} \leq m+4 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{(m-4)(m-6)} \leq (m+4 })\\$
$\displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - (m+4)\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m+4)(m-4)(m-6)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m^2-16)(m-6)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90}{ (m+4)(m-6)} - \frac{(m^3-6m^2-16m+96)}{ (m+4)(m-6)}\leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{m^3-6m^2-14m+90 - m^3+6m^2+16m-96}{ (m+4)(m-6)} \leq 0 }\\$
$\displaystyle{\frac{2m-6}{(m-4)(m-6)} \leq 0 }\\ \displaystyle{\frac{2(m-3)}{(m-4)(m-6)} \leq 0 } \\$
Решаем неравенство по методу интервалов. Отобразим на координатной прямой когда функция обращается в ноль или не существует в точки (в случае со знаменателем точки m=4 m=6)

Возьмем большое число m=100, здесь знак положительный. далее при прохождении через каждую точку функция меняет знак, расставляем знаки. Нас интересуют интервалы где функция меньше нуля.
Также следует вспомнить, что у нас m строго больше нуля. Ведь мы делали замену
$3^x=m$
В какую степень число не возводи, у нас будет получаться положительное число, а значит надо учесть ОДЗ для m

Запишем эти промежутки через неравенства, чтобы сделать обратную замену:
$\left[ \begin{array} {ccc} \begin{cases} m\gt0 \\ m\leq 3\\ \end{cases} \\ \begin{cases} m\gt4\\ m\lt6 \end{cases} \end{array} \right.$
Делаем обратную замену:
$\left[ \begin{array} {ccc} \begin{cases} 3^x\gt0 \\ 3^x\leq 3\\ \end{cases} \\ \begin{cases} 3^x\gt4\\ 3^x\lt6 \end{cases} \end{array} \right.$
Теперь решаем каждую систему отдельно.
Первая система
$\begin{cases} 3^x\gt0 \\ 3^x\leq 3\\ \end{cases}$
3^x>0 при любом x, рассмотрим второе неравенство
$3^x\leq 3\\ x\leq1$
Вторая система
$\begin{cases} 3^x\gt4\\ 3^x\lt6 \end{cases}$
$3^x \gt 4\\ 3^x \gt 3^{\log_3{4}}\\ x \gt \log_3{4}$
$3^x \lt 6\\ 3^x \lt3^{ \log_3{6} }\\ x \lt \log_3{6} \\$
$\left[ \begin{array} {ccc} x\leq 1\\ \begin{cases} x \gt \log_3 4\\ 3x\lt \log_3 6 \end{cases} \end{array} \right.$
Теперь изобразим это все на оси x и запишем промежутки

$Ответ: (-\infty ;1]\cup(\log_34;\log_36)$

Сайт помог тебе решить задачу?
Помоги нам - задонать!

Войти в свой аккаунт
Химия
Биология
Русский язык
Математика базовая
Математика профильная