a) Решите уравнение
2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0 2\log_2^2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0 2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 2 π ; 7 π 2 ] [2\pi;\displaystyle {7\pi \over 2} ] [ 2 π ; 2 7 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
a) 2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0 2\log_2^2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\\ 2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0
П у с т ь log 2 ( 2 sin x ) = m , т о г д а 2 m 2 − 7 m + 3 = 0 D = 49 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 49 − 24 = 25 m 1 = 7 + 5 4 = 3 m 2 = 7 − 5 4 = 0 , 5
Пусть \log_2(2\sin x) = m, тогда\\
2m^2 - 7m+3=0\\
D= 49-4\cdot2\cdot3=49-24=25\\
m_1 = \displaystyle{{\frac{7+5}{4}} = 3}\\
m_2 = \displaystyle{{\frac{7-5}{4}} = 0,5}\\ П у с т ь log 2 ( 2 sin x ) = m , т о г д а 2 m 2 − 7 m + 3 = 0 D = 4 9 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 9 − 2 4 = 2 5 m 1 = 4 7 + 5 = 3 m 2 = 4 7 − 5 = 0 , 5
Применим обратную замену:
log 2 ( 2 sin x ) = 3 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 8 ) 2 sin x = 8 sin x = 4 \log_2(2\sin x) = 3\\
\log_2(2\sin x) = \log_2(8)\\
2\sin x = 8\\
\sin x= 4 log 2 ( 2 sin x ) = 3 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 8 ) 2 sin x = 8 sin x = 4
Данное уравнение не имеет корней, так как \sin x sin x
log 2 ( 2 sin x ) = 0 , 5 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 2 ) 2 sin x = 2 sin x = 2 2 x 1 = π 4 + 2 π k , k ∈ Z x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 4 + 2 π k ; x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z \log_2(2\sin x) = 0,5\\
\log_2(2\sin x)=\log_2(\sqrt2)\\
2\sin x=\sqrt2\\
\sin x= \displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\
x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\
Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k;
x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ log 2 ( 2 sin x ) = 0 , 5 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 2 ) 2 sin x = 2 sin x = 2 2 x 1 = 4 π + 2 π k , k ∈ Z x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z О т в е т : x 1 = 4 π + 2 π k ; x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим как попадают корни в промежуток
Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 4 + 2 π k , k ∈ Z Для \ начала \ переберем \ корни \ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 4 π + 2 π k , k ∈ Z
k = 0 , x = π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = π 4 + 2 π = 9 π 4 п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = π 4 + 4 π = 17 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k=0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}} не\ попадает \ в \ интервал\\
k=1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi = \displaystyle{\frac{9\pi}{4}} попадает\ в \ интервал \\
k=2, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+ 4\pi = \displaystyle{\frac{17\pi}{4}} не \ попадает \ в \ интервал k = 0 , x = 4 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 4 π + 2 π = 4 9 π п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 4 π + 4 π = 4 1 7 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
Дальше нет смысла перебирать, значения корней будут идти на увеличение и не попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z Теперь \ переберем\ корни\ для\ x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z
k = 0 , x = 3 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 3 π 4 + 2 π = 11 π 4 п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 3 π 4 + 4 π = 19 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k=0, x=\displaystyle{\frac{3\pi}{4}} не\ попадает \ в \ интервал\\
k=1, x= \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi = \displaystyle{\frac{11\pi}{4}} попадает\ в \ интервал \\
k=2, x= \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+ 4\pi = \displaystyle{\frac{19\pi}{4}} не \ попадает \ в \ интервал k = 0 , x = 4 3 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 4 3 π + 2 π = 4 1 1 π п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 4 3 π + 4 π = 4 1 9 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
Дальше нет смысла перебирать, значения корней будут идти на увеличение и не попадать в промежуток
О т в е т : 9 π 4 ; 11 π 4 Ответ: \displaystyle{\frac{9\pi}{4}} ; \displaystyle{\frac{11\pi}{4}} О т в е т : 4 9 π ; 4 1 1 π
Оцените своё решение
a) 2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0 2\log_2^2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\\ 2 log 2 2 ( 2 sin x ) − 7 log 2 ( 2 sin x ) + 3 = 0
П у с т ь log 2 ( 2 sin x ) = m , т о г д а 2 m 2 − 7 m + 3 = 0 D = 49 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 49 − 24 = 25 m 1 = 7 + 5 4 = 3 m 2 = 7 − 5 4 = 0 , 5
Пусть \log_2(2\sin x) = m, тогда\\
2m^2 - 7m+3=0\\
D= 49-4\cdot2\cdot3=49-24=25\\
m_1 = \displaystyle{{\frac{7+5}{4}} = 3}\\
m_2 = \displaystyle{{\frac{7-5}{4}} = 0,5}\\ П у с т ь log 2 ( 2 sin x ) = m , т о г д а 2 m 2 − 7 m + 3 = 0 D = 4 9 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 9 − 2 4 = 2 5 m 1 = 4 7 + 5 = 3 m 2 = 4 7 − 5 = 0 , 5
Применим обратную замену:
log 2 ( 2 sin x ) = 3 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 8 ) 2 sin x = 8 sin x = 4 \log_2(2\sin x) = 3\\
\log_2(2\sin x) = \log_2(8)\\
2\sin x = 8\\
\sin x= 4 log 2 ( 2 sin x ) = 3 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 8 ) 2 sin x = 8 sin x = 4
Данное уравнение не имеет корней, так как \sin x sin x
log 2 ( 2 sin x ) = 0 , 5 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 2 ) 2 sin x = 2 sin x = 2 2 x 1 = π 4 + 2 π k , k ∈ Z x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z О т в е т : x 1 = π 4 + 2 π k ; x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z \log_2(2\sin x) = 0,5\\
\log_2(2\sin x)=\log_2(\sqrt2)\\
2\sin x=\sqrt2\\
\sin x= \displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\
x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\
Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k;
x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ log 2 ( 2 sin x ) = 0 , 5 log 2 ( 2 sin x ) = log 2 ( 2 ) 2 sin x = 2 sin x = 2 2 x 1 = 4 π + 2 π k , k ∈ Z x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z О т в е т : x 1 = 4 π + 2 π k ; x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим как попадают корни в промежуток
Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 4 + 2 π k , k ∈ Z Для \ начала \ переберем \ корни \ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ Д л я н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 4 π + 2 π k , k ∈ Z
k = 0 , x = π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = π 4 + 2 π = 9 π 4 п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = π 4 + 4 π = 17 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k=0, x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}} не\ попадает \ в \ интервал\\
k=1, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+2\pi = \displaystyle{\frac{9\pi}{4}} попадает\ в \ интервал \\
k=2, x= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+ 4\pi = \displaystyle{\frac{17\pi}{4}} не \ попадает \ в \ интервал k = 0 , x = 4 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 4 π + 2 π = 4 9 π п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 4 π + 4 π = 4 1 7 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
Дальше нет смысла перебирать, значения корней будут идти на увеличение и не попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z Теперь \ переберем\ корни\ для\ x_2 = \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi k, k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z
k = 0 , x = 3 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 3 π 4 + 2 π = 11 π 4 п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 3 π 4 + 4 π = 19 π 4 н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k=0, x=\displaystyle{\frac{3\pi}{4}} не\ попадает \ в \ интервал\\
k=1, x= \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+2\pi = \displaystyle{\frac{11\pi}{4}} попадает\ в \ интервал \\
k=2, x= \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}+ 4\pi = \displaystyle{\frac{19\pi}{4}} не \ попадает \ в \ интервал k = 0 , x = 4 3 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 1 , x = 4 3 π + 2 π = 4 1 1 π п о п а д а е т в и н т е р в а л k = 2 , x = 4 3 π + 4 π = 4 1 9 π н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
Дальше нет смысла перебирать, значения корней будут идти на увеличение и не попадать в промежуток
О т в е т : 9 π 4 ; 11 π 4 Ответ: \displaystyle{\frac{9\pi}{4}} ; \displaystyle{\frac{11\pi}{4}} О т в е т : 4 9 π ; 4 1 1 π