а) Решите уравнение \sin^2x-3\sin x \cos x+2 \cos^2x=0 sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ]
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
a ) sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos 2 x , у ч и т ы в а я , ч т о cos x ≠ 0 x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z sin 2 x cos 2 x − 3 sin x ⋅ cos x cos 2 x + 2 cos 2 x cos 2 x = 0 tg 2 x − 3 tg x + 2 = 0 П у с т ь tg x = m , т о г д а : m 2 − 3 m + 2 = 0 D = 9 − 8 = 1 m 1 = 3 + 1 2 = 2 m 2 = 3 − 1 2 = 1 a)\ \sin^2x-3\sin x \cos x+2 \cos^2x=0\\
Поделим\ члены\ уравнения\ на\ \cos^2x,\ учитывая, что\\
\cos x\neq 0\\
\ x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
\displaystyle{{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{\cos^2x}+\frac{2\cos^2x}{\cos^2x}}= 0}\\
\tg^2x -3\tg x+2=0\\
Пусть\ \tg x = m,\ тогда:\\
m^2-3m+2=0\\
D= 9-8=1\\
m_1= \displaystyle{{\frac{3+1}{2}}= 2}\\
m_2= \displaystyle{{\frac{3-1}{2}}= 1}\\
a ) sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos 2 x , у ч и т ы в а я , ч т о cos x = 0 x = 2 π + π k ; k ∈ Z cos 2 x sin 2 x − cos 2 x 3 sin x ⋅ cos x + cos 2 x 2 cos 2 x = 0 tg 2 x − 3 tg x + 2 = 0 П у с т ь tg x = m , т о г д а : m 2 − 3 m + 2 = 0 D = 9 − 8 = 1 m 1 = 2 3 + 1 = 2 m 2 = 2 3 − 1 = 1
Сделаем обратную замену:
tg x = 1 x 1 = π 4 + π k ; k ∈ Z \tg x= 1\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k;k \in \Z\\ tg x = 1 x 1 = 4 π + π k ; k ∈ Z
tg x = 2 x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z \tg x= 2\\
x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ tg x = 2 x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
О т в е т : x 1 = π 4 + π k ; x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k;\ x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ О т в е т : x 1 = 4 π + π k ; x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 4 + π k ; k ∈ Z Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 4 π + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 4 − π = − 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 4 + π = 5 π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = π 4 + 2 π = 9 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}-\pi=\frac{-3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}+\pi=\frac{5\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}+2\pi=\frac{9\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 4 π − π = 4 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 4 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 4 π + π = 4 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = 4 π + 2 π = 4 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 2 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = arctg 2 − π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = arctg 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = arctg 2 + π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = arctg 2 + 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-1, x= \arctg 2-\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k=0, x= \arctg 2\ попадает\ в\ промежуток\\
k=1, x= \arctg 2+\pi\ попадает\ в\ промежуток\\
k=2, x= \arctg 2+2\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток k = − 1 , x = arctg 2 − π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = arctg 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = arctg 2 + π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = arctg 2 + 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 2 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : π 4 ; 5 π 4 ; arctg 2 ; arctg 2 + π Ответ:\ \displaystyle { {\pi \over 4};\displaystyle {5\pi \over 4};\arctg2; \;\arctg2+\pi } О т в е т : 4 π ; 4 5 π ; arctg 2 ; arctg 2 + π
Оцените своё решение
a ) sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos 2 x , у ч и т ы в а я , ч т о cos x ≠ 0 x ≠ π 2 + π k ; k ∈ Z sin 2 x cos 2 x − 3 sin x ⋅ cos x cos 2 x + 2 cos 2 x cos 2 x = 0 tg 2 x − 3 tg x + 2 = 0 П у с т ь tg x = m , т о г д а : m 2 − 3 m + 2 = 0 D = 9 − 8 = 1 m 1 = 3 + 1 2 = 2 m 2 = 3 − 1 2 = 1 a)\ \sin^2x-3\sin x \cos x+2 \cos^2x=0\\
Поделим\ члены\ уравнения\ на\ \cos^2x,\ учитывая, что\\
\cos x\neq 0\\
\ x \neq \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\pi k;k \in \Z\\
\displaystyle{{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{3\sin x\cdot \cos x}{\cos^2x}+\frac{2\cos^2x}{\cos^2x}}= 0}\\
\tg^2x -3\tg x+2=0\\
Пусть\ \tg x = m,\ тогда:\\
m^2-3m+2=0\\
D= 9-8=1\\
m_1= \displaystyle{{\frac{3+1}{2}}= 2}\\
m_2= \displaystyle{{\frac{3-1}{2}}= 1}\\
a ) sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 П о д е л и м ч л е н ы у р а в н е н и я н а cos 2 x , у ч и т ы в а я , ч т о cos x = 0 x = 2 π + π k ; k ∈ Z cos 2 x sin 2 x − cos 2 x 3 sin x ⋅ cos x + cos 2 x 2 cos 2 x = 0 tg 2 x − 3 tg x + 2 = 0 П у с т ь tg x = m , т о г д а : m 2 − 3 m + 2 = 0 D = 9 − 8 = 1 m 1 = 2 3 + 1 = 2 m 2 = 2 3 − 1 = 1
Сделаем обратную замену:
tg x = 1 x 1 = π 4 + π k ; k ∈ Z \tg x= 1\\
x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k;k \in \Z\\ tg x = 1 x 1 = 4 π + π k ; k ∈ Z
tg x = 2 x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z \tg x= 2\\
x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ tg x = 2 x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
О т в е т : x 1 = π 4 + π k ; x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z Ответ: x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k;\ x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ О т в е т : x 1 = 4 π + π k ; x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
б) Начинаем перебирать целые числа и смотрим, как попадают корни в промежуток:
С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = π 4 + π k ; k ∈ Z Сначала\ переберем\ корни\ для\ x_1= \displaystyle{\frac{\pi}{4}}+\pi k; k \in \Z С н а ч а л а п е р е б е р е м к о р н и д л я x 1 = 4 π + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = π 4 − π = − 3 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = π 4 + π = 5 π 4 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = π 4 + 2 π = 9 π 4 н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k= -1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}-\pi=\frac{-3\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 0, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 1, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}+\pi=\frac{5\pi}{4}}\ попадает\ в\ промежуток\\
k= 2, x= \displaystyle{{\frac{\pi}{4}}+2\pi=\frac{9\pi}{4}}\ не\ попадает\ в\ промежуток\\ k = − 1 , x = 4 π − π = 4 − 3 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = 4 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = 4 π + π = 4 5 π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = 4 π + 2 π = 4 9 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 2 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z Теперь\ переберем\ корни\ для\ x_2= \arctg 2+\pi k;k \in \Z\\ Т е п е р ь п е р е б е р е м к о р н и д л я x 2 = arctg 2 + π k ; k ∈ Z
k = − 1 , x = arctg 2 − π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = arctg 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = arctg 2 + π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = arctg 2 + 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k=-1, x= \arctg 2-\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток\\
k=0, x= \arctg 2\ попадает\ в\ промежуток\\
k=1, x= \arctg 2+\pi\ попадает\ в\ промежуток\\
k=2, x= \arctg 2+2\pi\ не\ попадает\ в\ промежуток k = − 1 , x = arctg 2 − π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 0 , x = arctg 2 п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 1 , x = arctg 2 + π п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к k = 2 , x = arctg 2 + 2 π н е п о п а д а е т в п р о м е ж у т о к
Брать числа меньше -1 и больше 2 нет смысла, так как корни не будут попадать в промежуток
О т в е т : π 4 ; 5 π 4 ; arctg 2 ; arctg 2 + π Ответ:\ \displaystyle { {\pi \over 4};\displaystyle {5\pi \over 4};\arctg2; \;\arctg2+\pi } О т в е т : 4 π ; 4 5 π ; arctg 2 ; arctg 2 + π