Начнем с ОДЗ, области допустимых значений. X может быть любым (положительным, отрицательным, нулем)

Исследуем функцию, найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную функции, и узнаем при каких x она обращается в 0. Может быть мы сразу найдем минимум функции?

$y\prime = e^{x-10 } + (e^{x-10 })\cdot (x-11)$ 

Приравняем производную нулю чтобы найти экстремумы функции

$e^{x-10 } + (e^{x-10 })\cdot (x-11) = 0$

$(e^{x-10 })\cdot (1+x-11) = 0$

$(e^{x-10 })\cdot (x-10) = 0$

 произведение 2-х числе равно нулю, когда либо когда один множитель равен нулю, либо второй,   a*b=0 когда a=0 или b=0

$\left[ \begin{gathered} e^{x-10 } =0 \\ x-10 = 0 \end{gathered} \right.$

$x-10 = 0$ 

 $x=10$

 $e^{x-10 } =0$

Данное уравнение не имеет корней. Однако, может быть эта функция просто не существует в точке 0, но может иметь отрицательные и положительные значения? Нет, мы знаем, что экспоненциальная функция всегда больше нуля.

 $e^{x-10 } \ne 0, \forall \ x \\ e^{x-10 } > 0, \forall \ x$

По методу интервалов расставим положительные или отрицательные знаки и поймем когда функция возрастает, а когда убывает.
Нам надо понять когда производная больше нуля а когда меньше нуля.

 $(e^{x-10 })\cdot (x-10) = 0$

Мысленно возьмем x=100, первый множитель больше нуля, второй множитель больше нуля. Производная больше нуля Ставим знак +. 10. при X<10 множитель (X-10) меняет знак на "-". Проверим. Возьмем x=-100, первый множитель больше нуля, второй множитель меньше нуля.

В точке x=10 производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит функция производной переходит с убывания на возрастание, следовательно это точка минимума. Именно в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Значение функции в концах отрезка, который дан в условии задачи можно даже не считать. Теперь найдем это наименьшее значение, подставив значение x в функцию

 $y=(x-11)e^{x-10 }$ 

$y(10)=(10-11)e^{10-10 } = (-1)e^{0 } = -1$ 

Ответ: -1