$\displaystyle{ {\log_x(x-3) \over \log_{x^2 }(5-x)-1} \ge 0 }\\$  

ОДЗ.

1. Для дроби. Знаменатель дроби не равен нулю. Но к исследованию знаменателя дроби мы еще вернемся!

2.  Основание логарифма больше нуля, и не равно единице,

$\begin{cases} x \gt 0 \\ x \ne 1 \\ x^2 \gt 0 \\ x^2 \ne 1 \\ \end{cases}$

3. Под знаком логарифма положительное число.

$\left[ \begin{gathered} x -3 \gt 0 \\ 5-x \gt 0 \end {gathered} \right.$

 $\left[ \begin{gathered} x \gt 3 \\ x \lt 5 \end {gathered} \right.$

для начала упростим все что относится к ОДЗ, сократим что повторяется и упростим.

$\begin{cases} x \gt 0 \\ x \ne 1 \\ x \ne \pm1 \\ x \gt 3 \\ x \lt 5 \end{cases}$ 

например, квадрат x больше нуля при любых значениях, удаляем.

$\begin{cases} x \gt 0 \\ x \ne 1 \\ x \ne -1 \\ x \gt 3 \\ x \lt 5 \end{cases}$

 $ОДЗ\ x \in (3; 5)$ 

Вернемся к нашему неравенству, мы дробь заменили на следующее.  Дробь у нас положительная или равна нулю, когда числитель и знаменатель положительные, или числитель и знаменатель отрицательные. Числитель может быть равен нулю, тогда дробь равна нулю.
Знаменатель дроби неравен 0,  на ноль делить нельзя, но это мы уже учли когда говорили про J 

 $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} \log_x(x-3)\ge 0 \\ \log_{x^2}(5-x)-1\gt 0\\ \end{cases} \\ \begin{cases} \log_x(x-3) \le 0 \\ \log_{x^2}(5-x)-1\lt 0\\ \end{cases} \\ \end{gathered} \right.$ 

Исследуем функции числителя и знаменателя, найдем на каких промежутках функции положительны и отрицательны, а в каких точках она когда обращаются в ноль.

 $\log_x​(x−3)=0 \\ \log_x​(x−3)=\log_x​1\\ x−3=1\\ x=4$ 

Посмотрим как ведет себя функция при прохождении через  точку 4. x=3,9. Под логарифмом будет 0,9. Число меньше 1, можно получить только возводя в отрицательную степень. Функция в точке 3,9 меньше нуля, после прохождения точки 4 функция меняет знак.

Сразу учтем объединенную  ОДЗ

Исследуем функцию в знаменателе

$\log_{x^2}(5-x)-1 = 0\\ \log_{x^2}(5-x) - \log_{x^2}(x^2) =0\\ 5-x -x^2 = 0 \\ -x^2-x+5 = 0\\ D= 1+20=21\\ \displaystyle {x_1 = \frac{1-\sqrt{21}}{-2} = \frac{-1+\sqrt{21}}{2}\approx1,8}\\ \displaystyle{x_2 = \frac{1+\sqrt{21}}{-2} = \frac{-1-\sqrt{21}}{2}\approx-2,8}\\$

Помним, что знаменатель не равен нулю, а значит надо исключить корни  x₁ и x₂. Но они и так не попадают в промежуток ОДЗ. Посмотрим как ведет себя знаменатель при переходе через  точки x₁ и x₂

a=-1, a<0 ветви вниз, на промежутке от x₁ до x₂ функция положительная, а на других промежутках отрицательная.

Отметим, что  интервал где функция положительная, не соответствует ОДЗ!  В этом случае у нас получается пустое множество.

Запишем все интервалы в виде объединений множеств, помним о том, что мы уже учли ОДЗ.

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} [4; 5) \\ \emptyset \\ \end{cases} \\ \begin{cases} (3; 4]\\ (3;5) \end{cases} \\ \end{gathered} \right.$

Первая фигурная скобка дает нам пустое множество, дело в том, что условия когда знаменатель положительный не соответствуют ОДЗ.

Вторая фигурная скобка, когда и числитель и знаменатель отрицательные  дает нам  полуинтервал (3; 4] поскольку это пересечение интервала (3; 5) и полуинтервала.(3;4]

$x \in (3;4]$ 

Ответ: (3; 4]