Будем решать данную задачу через векторы и их координаты. Поместим наш куб в систему координат где начало координат совпадает с точкой B, ребро BC лежит на оси OY, ребро BB₁ лежит на оси OZ, ребро BA лежит на оси OX.  Запишем координаты всех точек в этой системе координат. 

A (1, 0, 0) B (0, 0, 0) C (0, 1, 0) D (1, 1, 0)

A₁ (1, 0, 1) B₁ (0, 0, 1) C₁ (0, 1, 1) D₁ (1, 1, 1)

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это длинна общего перпендикуляра. Пусть MN - это расстояние между СA₁ и AD. 

Мы будем искать длину вектора  $\vec {MN}$.  Для начала, выразим вектор   $\vec {MN}$  через другие векторы

 $\vec {MN} = \vec {MA_1} + \vec {A_1A} + \vec {AN}$ 

тут мы можем сразу выразить вектор  $\vec {A_1A}$   из координат конца вычитаем координаты начала (1-1, 0-0,  0-1) = (0, 0, -1) координату точки M и N мы не знаем. Однако вектор  $\vec {AN}$ коллинеарен вектору   $\vec {AD}$  а значит его можно выразить как   $\vec {AN} = \alpha \cdot \vec {AD}$.  вектор  $\vec {MA_1}$   коллинеарен вектору    $\vec {CA_1}$    а значит его можно выразить как  $\vec {MA_1} = \beta \cdot \vec {CA_1}$ 

Вектор  $\vec {AD}$  имеет координаты (1-1, 1-0, 0-0)=(0, 1, 0)  

 $\vec {AN} = \alpha \cdot \vec {AD} = (\alpha * 0, \alpha*-1, \alpha*0) = (0, \alpha, 0)$ 

Вектор  $\vec {CA_1}$  имеет координаты (1-0, 0 -1, 1 -0)=(1, -1, 1)  

 $\vec {MA_1} = \beta \cdot \vec {CA_1} = (\beta * 1, \beta*(-1), \beta*1) = (\beta, -\beta, \beta)$ 

Запишем координаты вектора  $\vec {A_1A}$   (1-1, 0-0, 0-1) = (0, 0, -1)

 $\vec {MN} = \vec {MA_1} + \vec {A_1A} + \vec {AN}$  у нас есть координаты всех трех векторов, сложим их. то есть X, Y, Z

 $X: \beta + 0 + 0 = \beta\\ Y: -\beta + 0 +\alpha = \alpha - \beta\\ Z: \beta+ (-1)+0 = \beta -1 \\ \vec{MN} ( \beta, \alpha - \beta, \beta -1)$ 

Однако мы не знаем значений ни альфа ни бета,. Но мы знаем что   $\vec {MN} \perp \vec {CA_1}$ и  одновременно  $\vec {MN} \perp \vec {AD}$  

а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Мы взяли  $\vec { CA_1}$ и  $\vec { AD}$ поскольку их координаты известны, нет смысла брать  $\vec { MA_1}$ и  $\vec { AN}$  координаты которых неизвестны. Скалярное произведение векторов - это сумма произведений соответствующих координат. Для определения скалярного произведения вычислим координаты векторов

 $\begin{cases} \vec {MN} \perp \vec {CA_1} \\ \vec {MN} \perp \vec {AD} \end{cases} \begin{cases} \beta*1 + (\alpha - \beta)*(-1) + (\beta -1)*1 = 0 \\ \beta*0 + (\alpha - \beta)*1 + (\beta -1)*0 = 0 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} \beta - \alpha + \beta + \beta -1 = 0 \\ \alpha - \beta = 0 \end{cases}$ 

 $\begin{cases} 3 \beta - \alpha = 1 \\ \alpha = \beta \end{cases} \begin{cases} 3 \beta - \beta = 1 \\ \alpha = \beta \end{cases}$ 

 $\begin{cases} 2 \beta = 1 \\ \alpha = \beta \end{cases} \begin{cases} \beta = \frac {1}{2} \\ \alpha = \beta \end{cases} \begin{cases} \beta = \frac {1}{2} \\ \alpha = \frac {1}{2} \end{cases}$ 

Вектор    $\vec{MN} ( \beta, \alpha - \beta, \beta -1)$  получается  

 $\vec{MN} ( \frac {1}{2}, \frac {1}{2} - \frac {1}{2}, \frac {1}{2} -1)$ 

 $\vec{MN} ( \frac {1}{2}, 0, -\frac {1}{2})$ 

Длина вектора это корень квадратный из суммы квадратов его координат. 

 $\displaystyle { \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{ \left( \frac {1}{2} \right)^2+ 0^2 + \left( - \frac {1}{2} \right)^2} }$ 

 $\displaystyle { \sqrt{ \frac {1}{4}+ \frac {1}{4}} = \sqrt{ \frac {2}{4} } = \frac{ \sqrt{2}}{2} }$ 

Ответ :    $\displaystyle { \frac{ \sqrt{2}}{2} }$