а) Решите уравнение \tg x+\ctg x=2 tg x + ctg x = 2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [\pi; 3\pi]. [ π ; 3 π ] .
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную.
Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 2 баллов.
Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения.
Форма для оценки находится внизу страницы.
Подробное решение
а) tg x + ctg x = 2 \displaystyle { \tg x+\ctg x=2 } tg x + ctg x = 2 sin x cos x + cos x sin x = 2 \displaystyle { \frac {\sin x} {\cos x} + \frac {\cos x} {\sin x}=2 } cos x sin x + sin x cos x = 2
sin 2 x + cos 2 x cos x ⋅ sin x = 2 \displaystyle {\frac {\sin^2 x + \cos^2 x} {\cos x \cdot \sin x} =2 } cos x ⋅ sin x sin 2 x + cos 2 x = 2
1 cos x sin x = 2 \displaystyle { \frac {1} { \cos x \sin x} =2}
cos x sin x 1 = 2
1 = 2 cos x sin x 1= 2 \cos x \sin x 1 = 2 cos x sin x
\sin2\alpha=2\cos\alpha \sin\alpha sin 2 α = 2 cos α sin α
1 = sin 2 x sin 2 x = 1 1= \sin 2x \\
\sin 2x = 1 \\ 1 = sin 2 x sin 2 x = 1
sin x = a x = ( − 1 ) k arcsin a + π k , k ∈ Z \sin x = a \\
x = (-1)^{k} \arcsin a + \pi k, k \in \Z sin x = a x = ( − 1 ) k arcsin a + π k , k ∈ Z
Значит у нас
sin 2 x = 1 2 x = π 2 + 2 π k , k ∈ Z x = π 4 + π k , k ∈ Z О т в е т : x = π 4 + π k , k ∈ Z \sin 2x = 1 \\
2x = \frac{\pi} {2} +2 \pi k, k \in \Z \\
x = \frac{\pi} {4} + \pi k, k \in \Z \\
Ответ: x = \frac{\pi} {4} + \pi k, k \in \Z \\ sin 2 x = 1 2 x = 2 π + 2 π k , k ∈ Z x = 4 π + π k , k ∈ Z О т в е т : x = 4 π + π k , k ∈ Z
k = 0 , x = π 4 , н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
\displaystyle {k= 0, x=\frac {\pi}{4}, не\ попадает\ в\ интервал}
k = 0 , x = 4 π , н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 1 , x = π + π 4 = 5 π 4 , ( 1 , 25 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k= 1, x= \pi + \frac {\pi}{4} = \frac {5\pi}{4}, (1,25\pi) попадает\ в\ интервал } k = 1 , x = π + 4 π = 4 5 π , ( 1 , 2 5 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 2 , x = 2 π + π 4 = 9 π 4 , ( 2 , 25 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k= 2, x=2\pi + \frac {\pi}{4} =\frac {9\pi}{4},(2,25\pi) попадает\ в\ интервал } k = 2 , x = 2 π + 4 π = 4 9 π , ( 2 , 2 5 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 3 , x = 3 π + π 4 = 13 π 4 , ( 3 , 25 π ) н е п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k=3, x=3\pi + \frac {\pi}{4} =\frac {13\pi}{4},(3,25\pi) не\ попадает\ в\ интервал } k = 3 , x = 3 π + 4 π = 4 1 3 π , ( 3 , 2 5 π ) н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
О т в е т : 5 π 4 ; 9 π 4 . \displaystyle { Ответ:\ \frac {5\pi}{4}; \frac {9\pi}{4}. } О т в е т : 4 5 π ; 4 9 π .
Оцените своё решение
а) tg x + ctg x = 2 \displaystyle { \tg x+\ctg x=2 } tg x + ctg x = 2 sin x cos x + cos x sin x = 2 \displaystyle { \frac {\sin x} {\cos x} + \frac {\cos x} {\sin x}=2 } cos x sin x + sin x cos x = 2
sin 2 x + cos 2 x cos x ⋅ sin x = 2 \displaystyle {\frac {\sin^2 x + \cos^2 x} {\cos x \cdot \sin x} =2 } cos x ⋅ sin x sin 2 x + cos 2 x = 2
1 cos x sin x = 2 \displaystyle { \frac {1} { \cos x \sin x} =2}
cos x sin x 1 = 2
1 = 2 cos x sin x 1= 2 \cos x \sin x 1 = 2 cos x sin x
\sin2\alpha=2\cos\alpha \sin\alpha sin 2 α = 2 cos α sin α
1 = sin 2 x sin 2 x = 1 1= \sin 2x \\
\sin 2x = 1 \\ 1 = sin 2 x sin 2 x = 1
sin x = a x = ( − 1 ) k arcsin a + π k , k ∈ Z \sin x = a \\
x = (-1)^{k} \arcsin a + \pi k, k \in \Z sin x = a x = ( − 1 ) k arcsin a + π k , k ∈ Z
Значит у нас
sin 2 x = 1 2 x = π 2 + 2 π k , k ∈ Z x = π 4 + π k , k ∈ Z О т в е т : x = π 4 + π k , k ∈ Z \sin 2x = 1 \\
2x = \frac{\pi} {2} +2 \pi k, k \in \Z \\
x = \frac{\pi} {4} + \pi k, k \in \Z \\
Ответ: x = \frac{\pi} {4} + \pi k, k \in \Z \\ sin 2 x = 1 2 x = 2 π + 2 π k , k ∈ Z x = 4 π + π k , k ∈ Z О т в е т : x = 4 π + π k , k ∈ Z
k = 0 , x = π 4 , н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
\displaystyle {k= 0, x=\frac {\pi}{4}, не\ попадает\ в\ интервал}
k = 0 , x = 4 π , н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 1 , x = π + π 4 = 5 π 4 , ( 1 , 25 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k= 1, x= \pi + \frac {\pi}{4} = \frac {5\pi}{4}, (1,25\pi) попадает\ в\ интервал } k = 1 , x = π + 4 π = 4 5 π , ( 1 , 2 5 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 2 , x = 2 π + π 4 = 9 π 4 , ( 2 , 25 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k= 2, x=2\pi + \frac {\pi}{4} =\frac {9\pi}{4},(2,25\pi) попадает\ в\ интервал } k = 2 , x = 2 π + 4 π = 4 9 π , ( 2 , 2 5 π ) п о п а д а е т в и н т е р в а л
k = 3 , x = 3 π + π 4 = 13 π 4 , ( 3 , 25 π ) н е п о п а д а е т в и н т е р в а л \displaystyle {k=3, x=3\pi + \frac {\pi}{4} =\frac {13\pi}{4},(3,25\pi) не\ попадает\ в\ интервал } k = 3 , x = 3 π + 4 π = 4 1 3 π , ( 3 , 2 5 π ) н е п о п а д а е т в и н т е р в а л
О т в е т : 5 π 4 ; 9 π 4 . \displaystyle { Ответ:\ \frac {5\pi}{4}; \frac {9\pi}{4}. } О т в е т : 4 5 π ; 4 9 π .