1-ый признак делимости на 11. Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Иная формулировка: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

2-ой признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его двузначных граней делится на 11.

3-ий признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.

Минимальное трехзначное число 100, максимальное трехзначное число 999.
Сумма цифр первого сила 1, сумма цифр второго 27.
1 - это минимально возможная сумма цифр трехзначного числа, все слагаемые минимальные.
27 - это максимально возможная сумма цифр для трехзначного числа., все слагаемые максимальные.

Значит у нас трехзначное число с суммой цифр 11 или 22 (в интервале от 1 до 27).  Все признак делимости на 11 нам больше не нужен.

Число A - АBC  (A цифра в сотнях, B цифра в десятках, C цифра в единицах, цифры могут и повторятся)
A+B+C = 11 или A+B+C=22

Число (A+7) - XYZ (X цифра в сотнях, Y цифра в десятках, Z цифра в единицах, цифры могут повторяться)
X+Y+Z=11 или X+Y+Z=22

Какие нам подходят варианты?

1) В случае если A+B+C=22 то сумма цифр может только уменьшаться до 11, X+Y+Z=11 (от 22 до 0 падать нельзя и до 33 расти нельзя).

2) В случае если A+B+C=11 то сумма цифр  может только увеличиваться до 22, X+Y+Z=22 (от 11 до 0  падать нельзя до 33 расти нельзя)

3) Или сумма цифр  может не измениться A+B+C=22 и X+Y+Z=22, или A+B+C=11 и X+Y+Z=11

Позже мы увидим, что с "число+7" не все перечисленные случаи возможны.

Рассмотрим что происходит с числом вида a0c после прибавки 7

a00 + 7 = a07 (десятки не изменились, единицы возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a01 + 7 = a08 (десятки не изменились, единицы  возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a02 + 7 = a09 (десятки не изменились, единицы  возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a03 + 7 = a10 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a04 + 7 = a11 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a05 + 7 = a12 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a06 + 7 = a13 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a07 + 7 = a14 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a08 + 7 = a15 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)
a09 + 7 = a16 (десятки возросли на 1, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр уменьшилась на 2)

Что можно сказать?
1) если в единицах цифра от 0 до 2,  то единицы возрастают на 7, общая сумма цифр увеличивается на 7.

2) если в единицах цифра от 3 до 9, а в десятках от 0 до 8, то единицы уменьшаются на 3, десятки возрастают на 1, общая сумма цифр уменьшается на 2.

3) сохранить сумму цифр без изменения невозможно. Вариант когда A+B+C=11, и X+Y+Z=11 или A+B+C=22 и X+Y+Z=22 невозможен. Что скорее всего сумма 11 превратится в 22 или  наоборот 22 превратится в 11.  То есть нам интересен вариант изменения суммы цифр на 11.
Но пока мы видели изменения "+7" и "−2". 

4) интерес представляет случай когда в разряде десятков 9. Тогда может происходить превращение "9" в "0". Уменьшение цифр в разряде десятков сразу на 9.

a90 + 7 = a97 (десятки не изменились, единицы  возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a91 + 7 = a98 (десятки не изменились, единицы  возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a92 + 7 = a99 (десятки не изменились, единицы  возросли на 7, общая сумма цифр увеличилась на 7)
a93 +7 = (a+1)00 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11) поскольку у нас "уменьшение на 11", то
a+b+c=11; 11  не подходит, уменьшать 11 до 0 смысла нет.
a+b+c=22 a+9+3=22 a=10, по смыслу не подходит a - один разряд.

a94 +7 = (a+1)01 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
У нас сумма чисел либо 11 либо 22
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет.
a+b+c=22 a+9+4=22 a=9,
число A 994. число B 994+7=1001. Вот тут нам снова не повезло у нас было трехзначное число abc, и второе число abc+7=xyz , тоже трехзначное, а 1001 четырехзначное. Более того там число x=10 считается на 1 разряд, чего быть не может, иначе сумма цифр 11 не получается.  Не подходит.

a95 +7=(a+1)02 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет
a+b+c=22 a+9+5=22 a=8,
число A 895. число B 895+7=902. 9+0+2=11
Подходит. На этом можно и остановиться, но продолжим.

a96 +7=(a+1)03 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет
a+b+c=22 a+9+6=22 a=7,
число A 796. число B 796+7=803. 8+0+3=11
Подходит.

a97 +7=(a+1)04 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет
a+b+c=22 a+9+7=22 a=6,
число A 697. число B 697+7=704. 7+0+4=11
Подходит.

a98 +7=(a+1)05 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет
a+b+c=22 a+9+8=22 a=5,
число A 598. число B 598+7=605. 6+0+5=11
Подходит.

a99 +7=(a+1)06 (сотни стали больше на 1, десятки уменьшились на 9, единицы уменьшились на 3, общая сумма цифр +1-9-3 уменьшилась на 11)
a+b+c=11, 11 уменьшать до 0 смысла нет
a+b+c=22 a+9+9=22 a=4,
число A 499. число B 499+7=506. 5+0+6=11
Подходит.

Больше чисел с 9 в разряде десятков нет.