$\sin B=\displaystyle{АС \over АВ}\\ \sin B=\displaystyle{1 \over \sqrt5}\\ \displaystyle{АС \over АВ}={1\over \sqrt5}\\ AB = AC\cdot \sqrt5\\ AB = 4\sqrt5$  

Найдем ВС по теореме Пифагора: 

$AB^2= BC^2+AC^2\\ BC = \sqrt{AB^2-AC^2}= \sqrt{80-16}=\sqrt{64}=8$ 

Найдем высоту HC, предварительно посчитав  площадь данного треугольника 

S(треугольника) = (4*8)/2=16 

Вспомним формулу, связывающую высоту с площадью треугольника: 

${S(треугольника) = \displaystyle{h\cdot(a)\over2}}\\ {S(треугольника) = \displaystyle{HC\cdot(AB)\over2}}\\ {HC = \displaystyle{2S\over AB} = {32\over 4\sqrt5}={8\over\sqrt5}}\\$ 

Теперь по теореме пифагора найдем AH: 

$AC^2 = AH^2+HC^2\\ {AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{16-\displaystyle{64\over 5}}=\displaystyle{4\over\sqrt5}}$ 

${ 2\sqrt {5}AH = 2\sqrt5\cdot\displaystyle{4\over\sqrt5}=8}$ 

Ответ: 8