Напишем реакцию разложения перманганата калия при нагревании:
(1) $\ce{2KMnO4 ->[t^o] K2MnO4 + MnO2 + O2 ^}$    

Раз навеску прокалили до тех пор, пока масса не перестала изменяться, значит, что в твёрдом остатке нет неразложившегося перманганата, а есть только манганат калия и оксид марганца (IV). Напишем реакции их взаимодействия с бромоводородной кислотой:

(2)  $\ce{MnO2 + 4HBr = Br2 + MnBr2 + 2H2O}$  

(3) $\ce{K2MnO4 + 8HBr = 2Br2 + 2KBr + MnBr2 + 4H2O}$ 
Пусть при полном разложении  KMnO₄ образовалось X моль K₂MnO₄ и X моль MnO₂ 

n(MnO₂) = n(K₂MnO₄) = x (моль)

тогда согласно реакции (2)

n₂(HBr) = 4n(MnO₂) = 4x (моль)

а согласно реакции (3)

n₃(HBr) = 8n(K₂MnO₄) = 8x (моль)

n_oбщ.(HBr) = 4x+8x = 12x  (моль)

М(HBr) = 81 [г/моль]

масса чистой боромоводородной кислоты 

m(HBr) = (162*30%)/100% =48,6 грамм

 количество бромоводородной кислоты в 48,6 граммах

m(HBr) = 48,6/81 = 0,6 моль

12x = 0,6

x = 0,05 моль

Тогда найдем количество вещества манганата калия и оксида марганца, согласно реакциям (2) и (3)

n(MnO₂) = n(K₂MnO₄) = x = 0,05  (моль}, мы как раз начинали с определения x

А количество исходного перманганата калия и его масса равны:

 n(KMnO₄) = 2n(MnO₂) = 0,1 (моль}

М(KMnO₄) = 158 [г/моль]

m(KMnO₄) = n * M = 0,1 * 158 = 15,8 (г)

Масса оксида марганца:

М(MnO₂) = 84 [г/моль]

$\ce{m(MnO2) = 0,05 * 84 = 4,2 _ г}$

Масса манганата калия:

М(K₂MnO₄) = 194 [г/моль]

$\ce{m(K2MnO4) = 0,05 * 194 = 9,7 _ г}$

Общая масса исходной навески KMnO₄ 15,8 грамм, масса вещества после прокаливания это
m(K₂MnO₄) + m(MnO₂)  = 9,7 + 4,2 = 13,9 грамм 

Таким образом содержание манганата калия и оксида марганца (IV) в растворе равно:

$\ce{\omega(MnO2) = \frac{4,2}{13,9} = 0,302}$ или 30,2%

$\ce{\omega(K2MnO4) = \frac{9,7}{13,9} = 0,698}$ или 69,8%