1) Метилацетат - это сложный эфир, образованный спиртом - метанолом и кислотой - уксусной. Чтобы получить соль ацетат кальция, нужно метил заменить на кальций, здесь нас спасет щелочь - гидроксид кальция (это реакция разрушения сложного эфира):

$\ce{2CH3CO(O)CH3 + Ca(OH)2 ->[t^o] (CH3COO)2Ca + 2CH3OH}$

2) При нагревании соли происходит укорачивание цепи- происходит термическое разложение соли:

$\ce{(CH3COO)2Ca ->[t^o] CaCO3 + CH3-C(O)-CH3}$

3) Ацетон теперь должен превратиться в изопропанол. Это можно сделать реакцией гидрирования (восстановления) кетона:

$\ce{CH3-C(O)-CH3 + H2 ->[кат, t^o] CH3-CH(OH)-CH3}$

4) При взаимодействии изопропанола с концентрированной серной кислотой отщепляется вода и образуется двойная связь - мы получаем пропен:

$\ce{CH3-CH(OH)-CH3 ->[H2SO4_{конц.} , t^o] CH3-CH=CH2 + H2O}$

5) Получить уксусную кислоту из пропена можно реакцией окисления перманганатом натрия в кислой среде:

$\ce{CH3-CH=CH2 + 2KMnO4 + 3H2SO4 = CH3COOH + CO2 ^ + 2MnSO4 + K2SO4 + 4H2O}$

Напишем электронный баланс, чтобы уравнять реакцию:

$\ce{ C^{-1} -4 $e$- -> C^{+3 } | 1} \\ \ce{ Mn^{+7} +5 $e$- -> Mn^{+2} | 2 } \\ \ce{ C^{-2} -6 $e$- -> C^{+4 } | 1}$