1) $\ce { 2KMnO4 = K2MnO4 + MnO2 + O2 ^ }$ 

В школьном курсе не объясняется как расставлять коэффициенты,  чаще всего все ограничивалось заучиванием  подбором  кожфииентов, благо они подбираются достаточно легко.

2) Манганаты 

MnO₄²⁻  + окислитель -> MnO₄⁻  (K₂MnO₄  -> KMnO₄)

MnO₄²⁻ в кислой среде + восстановитель ->  Mn⁺² (MnSO₄, MnCl₂, и так далее)

MnO₄²⁻ в нейтральной среде  + восстановитель -> (Mn⁺⁴) MnO₂ 

сам раствор манганата калия в воде в результате реакции диспропорционирования превращается в перманганат. Еще надо знать, что в  разбавленной соляной кислотой манганат будет переходить в перманганат (Mn+7), и в   марганец (Mn+2)  в виде хлорида. 

 $\ce{ 3K2МпO4 + 4НСl (разб) = 2KМпO4 + MnO2 v +4KCl + 2H2O }$ 

А вот с концентрированной соляной кислотой происходит  окисление хлора до Cl⁰, то есть выделение Cl₂, а сам марганец   Mn⁺⁷  полностью будет восстанавливаться до Mn⁺². 

 $\ce{ K2МпO4 + 8НСl (конц) = MnCl2 + 2Cl2 ^ + 2KCl + 4H2O }$ 

 $\ce{ Cl^{-1} - 1 $e$- -> Cl^0 | 4} \\ \ce{ Mn^{+6} +4 $e$- -> Mn^{+2} | 1 }$ 

Итак, на восстановление 1 атома марганца требует 4 атомов хлора. В молекуле Cl₂ 2 атома хлора. Ставим 2 перед Cl2 два в правой части двойку. 

 $\ce{ 3) MnO2 + 4HCl = MnCl2 + Cl2 ^ + 2H2O }$ 

А откуда эта реакция взялась? Читаем условие внимательно чтобы сохранить 1 балл. "получившуюся смесь продуктов растворили в концентрированной соляной"

 $\ce{ Cl^{-1} - 1 $e$- -> Cl^0 | 2} \\ \ce{ Mn^{+4} +2 $e$- -> Mn^{+2} | 1 }$ 

Для восстановления 1 атома марганца требуется  2 атома хлора. В молекуле Cl₂ 2 атома хлора, перед ней коэффициенты нам не нужны. Однако надо уровнять хлор, он идет на образования соли, и эти атомы не меняют степени окисления. Поэтому перед соляной кислотой ставим 4. Далее уравниваем по воде, уравнивается и кислород и водород

 $\ce{4) Cl2 + Na2SO3 + 2NaOH = Na2SO4 + 2NaCl + H2O }$ 

 $\ce{ Cl^0 + 1 $e$- -> Cl^{-1}| 2} \\ \ce{ S^{+4} -2 $e$- -> S^{+6} | 1 }$ 

Хлор окислитель. Может восстанавливаться принимая электроны до -1. Дальше восстанавливатся некуда. Сера восстановитель, отдает электроны и из  из +4  переходит в +6. Очевидно соляной кислоты образовываться не будет, за счет среды будет образовываться соль,  а  как еще может  образовываться  вода.