1) Азотная кислота с металлами регистрирует по-разному. То, какие будут продукты зависит от степени разбавления азотной кислоты. Чем сильнее азотная  кислота разбавлена, тем сильнее азот восстанавливается в ОВР. 

Здесь нам даны продукты реакции NO₂  и  NO - значит у нас протекают 2 реакции.

Fe + 4HNO₃ = Fe(NO₃)₃ + NO + 2H₂O (1)

Fe + 6HNO₃ = Fe(NO₃)₃ + 3NO₂ + 3H₂O  (2)

2) Переведем число молекул в моли 1 моль 6*10²³ молекул или других частиц (на самом деле 6,02*10²³ но в задачах такая точность редко требуется) .
5,418*10²³ /6*10²³ =  0,903 моль
Отметим что при делении на 6,02 ответ будет строго 0,9 моль. Редкий случай года число Авогадро лучше знать до сотых.

3) Дальше речь идет не про молекулы, а про атомы это существенно.
В молекуле NO - 1 атом азота и 1 атома кислорода
В молекуле NO₂ - 1 атом азота и 2 атома кислорода

Математически можно решить задачу и вычислить соотношение газов в смеси.
x - доля NO
y - доля NO₂
x+y=1 

число атомов азота  x*1+y*1  в смеси двух газов
число атомов кислорода x*1+y*2 в смеси двух газов

 $\displaystyle { \frac{x+y}{x+2y} = \frac{3}{5} }$  

решаем систему уравнений

 $\begin{cases} x+y=1 \\ \displaystyle { \frac{x+y}{x+2y} = \frac{3}{5} } \end{cases}$  

тут удобно сразу подставить (x+y)=1 во второе уравнение, тогда получится

 $\displaystyle { \frac{1}{1 + y} = \frac{3}{5} }$ 

5=3+3y

y=2/3 доля NO₂ 

значит x=1/3 доля NO
То есть у нас 0,9 моль смеси газов,
n (NO)=0,9*(1/3)=0,3 моль
n (NO₂)=0,9*(2/3)=0,6 моль

4) Что бы вычислить массовую долю соли в полученном растворе мы должны воспользоваться законом сохранения вещества.
Это позволит нам вычислить общую массу раствора. Масса раствора равно массе железа и кислоты, за вычетом массы газов которые покинули раствор. Масса железной пластины не дана в условии задачи, значит мы ее вычислим исходя из количества образовавшихся газов по двум реакциям.
Также нам надо вычислить массу соли, аналогично, вычислим массу соли по двум реакциям по количеству  образовавшихся газов.
Очевидно, что железо растворилось полностью. Остатков железа нет.

M(NO) =14+16= 30 г/моль

M(NO₂) =14+2*16= 14+32= 46 г/моль

M(Fe(NO₃)₃)=56+14+3*16= 70+48= 118 г/моль

5)  m(NO) = 0,3*30 = 9 г
6) m(NO₂) = 0,6*46= 27,6 г
7) согласно уравнению первой  реакции

 n(Fe) : n(Fe(NO₃)₃) : n(NO) = 1:1:1

тогда x  - число моль Fe, y - Fe(NO₃)₃ 

 $\displaystyle{ \frac{1}{x} =\frac{1}{y} =\frac{1}{0,3}}$ 

то есть в первой реакции растворилось 0,3 моль железа  и образовалось 0,3 моль нитрата железа (III)

M(Fe)=56 г/моль
масса растворенного железа в 1 реакции m(Fe)=56*0,3=16,8 г 
M(Fe(NO₃)₃)= 56+(14+16*3)*3= 56+62*3=56+186= 242 г/моль
масса образовавшейся соли в  1 реакции m(Fe(NO₃)₃)= 242*0,3 = 72,6 г
масса газа образовавшегося в первой реакции m(NO)= 30*0,3=9 г (на самом деле еще выше уже считали)

8) согласно уравнению второй реакции
  n(Fe) : n(Fe(NO₃)₃) : n(NO₂) = 1:1:3 

$\displaystyle{ \frac{1}{x} =\frac{1}{y} =\frac{3}{0,6}}$  

то есть в второй реакции растворилось x=0,2 моль железа  и образовалось y=0,2 моль нитрата железа (III)

масса растворенного железа во 2 реакции m(Fe)=56*0,2=11,2 г 
масса образовавшейся соли во  2 реакции m(Fe(NO₃)₃)= 242*0,2 = 48,4 г
масса газа образовавшегося во 2   реакции m(NO₂)=46*0,6 = 27,6 г (на самом деле еще выше уже считали)

9) считаем концентрацию соли

общая масса соли  m(Fe(NO₃)₃) =72,6+48,4=121 г.
Масса раствора m=масса кислоты + масса железа - масса газов = 500+16,8+11,2–9–27,6= 500+28–38,8 =491,4 г

 $\displaystyle {\omega (\%)= \frac{121}{491,4}*100\% \approx 24,62\% }$