1) При реакции соли с галогеналканом образуется сложный эфир:

$\ce{CH3-CH2-C(O)ONa + C2H5Br -> CH3-CH2-C(O)O-C2H5 + NaBr}$

2) Далее, при взаимодействии сложного эфира с щелочью образуется опять пропионат натрия и спирт:

$\ce{CH3-CH2-C(O)O-C2H5 + NaOH ->[t^o] CH3-CH2-C(O)ONa + C2H5OH}$

3) Дальше вступать в реакцию с твёрдой щелочью при температуре будет соль натрия (реакция декарбоксилирования, укорочение углеродной цепи), поскольку спирты не реагируют с щелочами:

$\ce{CH3-CH2-C(O)ONa +NaOH_{тв.} ->[t^o] Na2CO3 + CH3-CH3 ^}$

4) Чтобы получить этиленгликоль за две реакции, мы можем сделать следующим образом: сначала превратим этан в этилен, а затем проведём реакцию окисления этилена перманганатом калия в нейтральной среде (мягкое окисление):

$\ce{CH3-CH3 ->[Pt, t^o] CH2=CH2 + H2 ^}$

5) А теперь окисление:

$\ce{3CH2=CH2 + 2KMnO4 + 4H2O -> 3CH2(OH)-CH2OH + 2MnO2 + 2KOH}$

Уравняем реакцию:

на 3 атома углерода нужен 1 атом марганца, но у нас в молекуле 2 атома углерода.
Удвоим и количество углерода и марганца, чтобы все уровнять.